Encontre a derivada da função em , na direção da tangente à curva .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função no ponto , na direção da tangente à curva . Para isso, vamos precisar entender de derivadas parciais e derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Passo 5
Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
Então, o gradiente em é .
Passo 6
Vamos encontrar a direção da tangente à curva no ponto . Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
No ponto :
Isso significa que o vetor tangente à curva é .
Passo 7
Agora, precisamos normalizar o vetor direção para que ele tenha comprimento 1. O comprimento de é:
Então, o vetor unitário na direção da tangente é:
Passo 8
Finalmente, a derivada direcionada é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada da função no ponto na direção da tangente à curva é .