Encontre a derivada da função z = 2 x^2 y^3 - 3 x^3 y^2 em p_o = (1, 2), na direção da tangente à curva y = x^3 + 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função no ponto , na direção da tangente à curva . Para isso, vamos precisar entender de derivadas parciais e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
Então, o gradiente em é .

Passo 6

Vamos encontrar a direção da tangente à curva no ponto . Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
No ponto :
Isso significa que o vetor tangente à curva é .

Passo 7

Agora, precisamos normalizar o vetor direção para que ele tenha comprimento 1. O comprimento de é:
Então, o vetor unitário na direção da tangente é:

Passo 8

Finalmente, a derivada direcionada é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada da função no ponto na direção da tangente à curva é .

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