Uma placa de metal aquecida está situada no plano
, de modo que a temperatura em cada um de seus pontos é dada pela função
. A partir do ponto
, em que direção a temperatura cresce mais rapidamente? Qual é essa taxa de crescimento?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa de metal no plano
onde a temperatura em cada ponto
é dada pela função
. Queremos descobrir, a partir do ponto
, em qual direção a temperatura aumenta mais rapidamente e qual é essa taxa de aumento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função temperatura. O gradiente nos indica a direção de maior aumento da função e sua magnitude nos dá a taxa de crescimento nessa direção.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Então, temos:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Avaliaremos o gradiente no ponto
. Substituindo
e
nas derivadas parciais:
Para
:
Para
:
Passo 6
Portanto, o gradiente em
é:
Esse vetor indica a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente.
Passo 7
A direção de maior aumento é na direção do próprio gradiente. Para encontrar a direção unitária, normalizamos o vetor gradiente.
A magnitude do gradiente é:
Então, a direção unitária é:
Passo 8
A taxa de crescimento mais rápida é dada pela magnitude do gradiente, que já calculamos como
.
Resposta
A temperatura cresce mais rapidamente na direção do vetor
, ou seja, na direção
, e a taxa de crescimento nessa direção é
unidades de temperatura por unidade de distância.