Uma placa de metal aquecida está situada no plano X Y, de modo que a temperatura em cada um de seus pontos é dada pela função T(x, y) = e^x cos(y) + e^y cos(x). A partir do ponto (0,0), em que direção a temperatura cresce mais rapidamente? Qual é essa taxa de crescimento?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa de metal no plano onde a temperatura em cada ponto (x, y) é dada pela função . Queremos descobrir, a partir do ponto (0,0), em qual direção a temperatura aumenta mais rapidamente e qual é essa taxa de aumento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente da função temperatura. O gradiente nos indica a direção de maior aumento da função e sua magnitude nos dá a taxa de crescimento nessa direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função T(x, y). O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a x e y.
Então, temos:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de T em relação a x:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de T em relação a y:

Passo 5

Avaliaremos o gradiente no ponto (0,0). Substituindo x = 0 e nas derivadas parciais:
Para :
Para :

Passo 6

Portanto, o gradiente em (0,0) é:
Esse vetor indica a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente.

Passo 7

A direção de maior aumento é na direção do próprio gradiente. Para encontrar a direção unitária, normalizamos o vetor gradiente.
A magnitude do gradiente é:
Então, a direção unitária é:

Passo 8

A taxa de crescimento mais rápida é dada pela magnitude do gradiente, que já calculamos como raiz(2).

Resposta

A temperatura cresce mais rapidamente na direção do vetor (1, 1), ou seja, na direção , e a taxa de crescimento nessa direção é raiz(2) unidades de temperatura por unidade de distância.

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