Mostre que a série sumn=2^+infty(-1)^n x^nln n é absolutamente convergente para todo x in(-1,1). A série é absolutamente convergente nos extremos do intervalo?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
sumn=2^+infty (-1)^n x^nln n
Queremos mostrar que essa série é absolutamente convergente para todo no intervalo . Além disso, precisamos verificar se ela também é absolutamente convergente nos extremos desse intervalo, ou seja, quando e .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma série ser absolutamente convergente e quais testes de convergência podemos aplicar aqui.

Passo 2

Convergência Absoluta: Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se:
sumn=2^+infty | (-1)^n x^nln n | = sumn=2^+infty |x|^nln n
converge, então a série original é absolutamente convergente.
Vamos focar nessa série de valores absolutos:
sumn=2^+infty |x|^nln n

Passo 3

Para analisar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Comparação. Vamos comparar com uma série que conhecemos que converge ou diverge.
Sabemos que para sumn=2^+infty |x|^n , tende a zero conforme aumenta. Além disso, cresce sem limites, mas mais lentamente que qualquer potência de .
Vamos comparar com a série geométrica:
Sabemos que a série geométrica converge quando .

Passo 4

Observando que para todos |x|^nln n <= |x|^n :
Isso porque , e assim o denominador está aumentando, fazendo o termo inteiro menor.
Como a série geométrica converge para , pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge para .

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento nos extremos do intervalo, ou seja, quando sumn=2^+infty 1^nln n = sumn=2^+infty 1ln n e sumn=2^+infty |-1|^nln n = sumn=2^+infty 1ln n .
Para :
A série se torna:
Queremos saber se essa série converge.
Sabemos que cresce sem limites, mas a série diverge porque é comparável à série harmônica , que diverge.
Para :
A s��rie dos valores absolutos é:
Que novamente, como vimos, diverge.

Resposta

A série é absolutamente convergente para todo no intervalo . Nos extremos do intervalo, quando e , a série não é absolutamente convergente.

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