Mostre que a série é absolutamente convergente para todo . A série é absolutamente convergente nos extremos do intervalo?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
Queremos mostrar que essa série é absolutamente convergente para todo no intervalo . Além disso, precisamos verificar se ela também é absolutamente convergente nos extremos desse intervalo, ou seja, quando e .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma série ser absolutamente convergente e quais testes de convergência podemos aplicar aqui.
Passo 2
Convergência Absoluta: Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se:
converge, então a série original é absolutamente convergente.
Vamos focar nessa série de valores absolutos:
sumn=2^+infty |x|^nln n
Passo 3
Para analisar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Comparação. Vamos comparar com uma série que conhecemos que converge ou diverge.
Sabemos que para sumn=2^+infty |x|^n , tende a zero conforme aumenta. Além disso, cresce sem limites, mas mais lentamente que qualquer potência de .
Vamos comparar com a série geométrica:
Sabemos que a série geométrica converge quando .
Passo 4
Observando que para todos |x|^nln n <= |x|^n :
Isso porque , e assim o denominador está aumentando, fazendo o termo inteiro menor.
Como a série geométrica converge para , pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge para .
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento nos extremos do intervalo, ou seja, quando sumn=2^+infty 1^nln n = sumn=2^+infty 1ln n e sumn=2^+infty |-1|^nln n = sumn=2^+infty 1ln n .
Para :
A série se torna:
Queremos saber se essa série converge.
Sabemos que cresce sem limites, mas a série diverge porque é comparável à série harmônica , que diverge.
Para :
A s��rie dos valores absolutos é:
Que novamente, como vimos, diverge.
Resposta
A série é absolutamente convergente para todo no intervalo . Nos extremos do intervalo, quando e , a série não é absolutamente convergente.