Encontre a derivada da função.
y=e^{-2 t} \cos 4 t

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = e^{-2t}\cos 4t.
Como se trata de um produto de duas funções de t, vamos usar a regra do produto e saber as derivadas de e^{kt} e de \cos(at).

Passo 2

Definimos
u(t)=e^{-2t}, \quad v(t)=\cos 4t.
Então, lembrando que \tfrac{d}{dt}e^{kt}=k\,e^{kt} e \tfrac{d}{dt}\cos(at)=-a\sin(at), temos
u'(t)=-2\,e^{-2t}, \quad v'(t)=-4\sin 4t.

Passo 3

Pela regra do produto,
y' = u'(t)\,v(t) + u(t)\,v'(t).

Passo 4

Substituindo u, u', v e v' e simplificando,
y' = (-2e^{-2t})(\cos 4t) + e^{-2t}(-4\sin 4t) = -2e^{-2t}\cos 4t - 4e^{-2t}\sin 4t.

Resposta

y' = -2e^{-2t}\cos 4t \;-\; 4e^{-2t}\sin 4t.

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