Encontre a derivada da função.
f(t)=sin ^2(e^sin ^2 t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=sin^2l(e^sin^2tr)
Aqui temos uma composição de três funções:
  1. k(t)=sin^2t,
  2. h(u)=e^u com u=k(t),
  3. g(v)=sin^2v com v=h(u).
    Para derivar, vamos aplicar a regra da cadeia em três níveis.

Passo 2

Derivada da função mais externa g(v)=sin^2v. Usando
ddvsin^2v = 2sin vcos v,
temos
g'(v)=2sin vcos v

Passo 3

Derivada da parte intermediária h(u)=e^u e da parte mais interna k(t)=sin^2t. Primeiro,
ddue^u=e^u,
e em seguida,
ddtsin^2t = 2sin tcos t
Logo, pela cadeia em h(k(t)),
ddte^sin^2t = e^sin^2tcdotddt(sin^2t) = e^sin^2tcdot 2sin tcos t

Passo 4

Agora ligamos tudo pela regra da cadeia:
f'(t) = g'l(h(k(t))r);times;ddthl(k(t)r) = l[2sinl(e^sin^2tr)cosl(e^sin^2tr)r];times;l[e^sin^2tcdot 2sin tcos tr]
Fazendo o produto, obtemos
f'(t) =4,e^sin^2t,sin t,cos t;sinl(e^sin^2tr),cosl(e^sin^2tr)

Resposta

f'(t)=4,e^sin^2t,sin t,cos t;sinl(e^sin^2tr),cosl(e^sin^2tr)

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