Exercício 5. (ELJ 45) Seja
uma função de classe
, em que
é um aberto. Mostre que o conjunto
é injetora
é um aberto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é de classe
num aberto
, então
é um conjunto aberto em
. Vamos usar a caracterização de injeção de um mapa linear via posto (rank) e a continuidade dos determinantes de menores matriciais.
Passo 2
Note que, para um mapa linear
, a condição “
é injetora” equivale a “”. Num ponto
, escrevemos a matriz jacobiana
Ter significa que existe alguma escolha de
linhas, com índices
, tal que o determinante do menor
extraído dessas linhas é não nulo:
Passo 3
Como
é de classe
, cada função
é contínua em
. Se
, então e, portanto, para algum conjunto
, vale
. Pela continuidade de
, existe um vizinho aberto
de
tal que
em todo
. Logo para todo
, ou seja,
.
Passo 4
Acabámos de mostrar que, para cada
, existe um aberto
contendo
embora contido em
. Isso é exatamente a definição de que
é aberto em
.
Resposta
O conjunto
é aberto em
.