Exercício 5. (ELJ 45) Seja f: Omega subset R^m R^m+n uma função de classe C^1, em que Omega é um aberto. Mostre que o conjunto x in Omega ; d f(x): R^m R^m+n é injetora é um aberto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f:OmegasubsetR^mtoR^m+n é de classe C^1 num aberto Omega, então
A=lxinOmega : d f(x) é injetorar é
é um conjunto aberto em Omega. Vamos usar a caracterização de injeção de um mapa linear via posto (rank) e a continuidade dos determinantes de menores matriciais.

Passo 2

Note que, para um mapa linear , a condição “ é injetora” equivale a “”. Num ponto , escrevemos a matriz jacobiana
Ter significa que existe alguma escolha de linhas, com índices , tal que o determinante do menor extraído dessas linhas é não nulo:

Passo 3

Como é de classe , cada função
é contínua em . Se , então e, portanto, para algum conjunto , vale . Pela continuidade de , existe um vizinho aberto de tal que em todo . Logo para todo , ou seja, .

Passo 4

Acabámos de mostrar que, para cada x0in A, existe um aberto U contendo x0 embora contido em A. Isso é exatamente a definição de que A é aberto em Omega.

Resposta

O conjunto xinOmega : d f(x) é injetoraé é aberto em Omega.

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