Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty sen^10(7 n!n+2) cdot 3n^3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty sin^10!gl(7,n!n+2gr),3n^3
O conteúdo principal aqui é usar o teste da comparação para séries, apoiado no fato de que a função seno é limitada, e também na convergência da série p-adicida com p=3>1.

Passo 2

Como para todo xinR vale -1<= sin(x)<= 1, temos
0 ;<=; sin^10(x) ;<=; 1
Aplicando isso ao nosso termo geral, concluímos
0 ;<=; sin^10!l(tfrac7,n!n+2r),3n^3 ;<=; 1cdot 3n^3 = 3n^3

Passo 3

Sabemos que a série
sumn=1^infty 3n^3
é uma série p-adica com p=3>1, logo ela converge.

Passo 4

Pelo teste da comparação direta, se
0 <= an <= bn
e sum bn converge, então sum an também converge. Aqui an=sin^10(tfrac7n!n+2)tfrac3n^3 e bn=3/n^3. Logo nossa série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente, portanto converge.

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