(9) Encontre a derivada da função
F(x)=x^4-5 x^3+raizxx^2
de duas formas: usando a Regra do Quociente e simplificando antes. Mostre que suas respostas são equivalentes.

Passo 1

A função dada é
F(x)=x^4-5x^3+raizxx^2
O conteúdo principal é derivada de quociente e derivada de potências. Para resolver vamos usar a regra do quociente e também simplificar antes de derivar para comparar os resultados.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^4-5x^3+x^1/2, v(x)=x^2
Então
u'(x)=4x^3-15x^2+tfrac12x^-1/2, v'(x)=2x
Pela regra do quociente temos
F'(x)=nu'(x)v(x)-nu(x)v'(x)[v(x)]^2
Agora calculamos cada termo:
nu'(x)v(x)=4x^5-15x^4+tfrac12x^3/2,
nu(x)v'(x)=2x^5-10x^4+2x^3/2
Subtraindo,
nu'v-nu v'=2x^5-5x^4-tfrac32x^3/2
Logo,
F'(x)=2x^5-5x^4-tfrac32x^3/2x^4=2x-5-32x^-5/2

Passo 3

Primeiro simplificamos antes de derivar. Reescrevendo:
F(x)=x^4x^2-5x^3x^2+x^1/2x^2=x^2-5x+x^-3/2
Derivando termo a termo:
F'(x)=2x-5-tfrac32x^-5/2

Passo 4

As duas expressões para F'(x) coincidem:
F'(x)=2x-5-tfrac32x^-5/2

Resposta

F'(x)=2x-5-tfrac32x^-5/2

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