Encontre a derivada da função
F(x)=\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{1+t^{3}} d t

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t^{2}}{1+t^{3}}\,dt
e pede F'(x). O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivada de uma integral com limite variável à função integranda.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f(x).
No nosso caso, f(t)=\frac{t^{2}}{1+t^{3}} e o limite superior é x, cuja derivada é 1.

Passo 3

Aplicando direto, temos
F'(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{3}}\times 1=\frac{x^{2}}{1+x^{3}}.

Resposta

F'(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{3}}.

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