5^{\underline{\mathrm{a}}} Questão. Calcule a integral.
\int_{0}^{\sqrt[3]{\pi}} v^{2} \cos \left(v^{3}\right) d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\sqrt[3]{\pi}} v^{2}\cos\bigl(v^{3}\bigr)\,dv.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = v^{3} \quad\Longrightarrow\quad du = 3\,v^{2}\,dv \quad\Longrightarrow\quad v^{2}\,dv = \frac{du}{3}.
Os limites também mudam: quando v=0, temos u=0^{3}=0; quando v=\sqrt[3]{\pi}, temos u=(\sqrt[3]{\pi})^{3}=\pi.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{\sqrt[3]{\pi}} v^{2}\cos\bigl(v^{3}\bigr)\,dv = \int_{u=0}^{u=\pi} \cos(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi}\cos(u)\,du.

Passo 4

Calculamos a integral de \cos(u):
\int_{0}^{\pi}\cos(u)\,du = \bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{\pi} = \sin(\pi)-\sin(0) = 0-0 = 0.
Portanto,
\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi}\cos(u)\,du = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0.

Resposta

0

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