4^{\underline{\mathrm{a}}} Questão. Calcule e explique o resultado em cada item
\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} e^{\operatorname{arctg} t} d t

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a derivada em x da função
F(x)=\int_{0}^{x}e^{\arctan t}\,dt.
O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1), que diz que, se
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt,
então
F'(x)=f(x).

Passo 2

Aqui temos exatamente esse caso, com a=0 e f(t)=e^{\arctan t}. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}e^{\arctan t}\,dt = e^{\arctan x}.

Resposta

e^{\arctan x}

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