Encontre a derivada da função
g(x)=\int_{0}^{x^{4}} \cos \left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)=\int_{0}^{x^{4}}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Para encontrar g'(x), vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e depois usar a regra da cadeia.

Passo 2

Defina
F(u)=\int_{0}^{u}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Pelo TFC, a derivada de F em relação a u é
F'(u)=\cos\bigl(u^{2}\bigr).

Passo 3

Como
g(x)=F\bigl(x^{4}\bigr),
aplicamos a regra da cadeia:
g'(x)=F'\bigl(x^{4}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr) =\cos\bigl((x^{4})^{2}\bigr)\cdot4x^{3} =4x^{3}\cos\bigl(x^{8}\bigr).

Resposta

g'(x)=4x^{3}\cos\bigl(x^{8}\bigr).

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