Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função $ y = \int_{\sqrt{x}}^{x} \frac{e^{t}}{t} , dt $. Aqui estamos lidando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas de integrais que têm limites dependentes de $ x $. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de Leibniz para derivar integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que a regra de Leibniz nos diz. Se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de $ x $, ou seja, $ y = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) , dt $, a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é dada por:
Isso significa que a derivada é a função dentro da integral avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior, menos a função avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro da integral é $ f(t) = \frac{e^{t}}{t} $, o limite inferior é $ a(x) = \sqrt{x} $ e o limite superior é $ b(x) = x $.
Primeiro, vamos calcular $ f(b(x)) $:
E a derivada de $ b(x) $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ f(a(x)) $:
E a derivada de $ a(x) $ em relação a $ x $ é:
Passo 5
Aplicando a regra de Leibniz, substituímos tudo na fórmula:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Porque $ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x $.
Resposta
Portanto, a derivada da função é: