Encontre a derivada da função.
y=integralraizx^x e^tt d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função $ y = \int_{\sqrt{x}}^{x} \frac{e^{t}}{t} , dt $. Aqui estamos lidando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas de integrais que têm limites dependentes de $ x $. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de Leibniz para derivar integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a regra de Leibniz nos diz. Se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de $ x $, ou seja, $ y = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) , dt $, a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é dada por:
x
Isso significa que a derivada é a função dentro da integral avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior, menos a função avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é $ f(t) = \frac{e^{t}}{t} $, o limite inferior é $ a(x) = \sqrt{x} $ e o limite superior é $ b(x) = x $.
Primeiro, vamos calcular $ f(b(x)) $:
f(t) = e^tt
E a derivada de $ b(x) $ em relação a $ x $ é:
a(x) = raizx

Passo 4

Agora, vamos calcular $ f(a(x)) $:
f(a(x))
E a derivada de $ a(x) $ em relação a $ x $ é:
f(a(x)) = f(raizx) = e^raizxraizx

Passo 5

Aplicando a regra de Leibniz, substituímos tudo na fórmula:
dydx = e^xx cdot 1 - e^raizxraizx cdot 12raizx

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
dydx = e^xx - e^raizx2x
Porque $ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x $.

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
dydx = e^xx - e^raizx2x

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