Derive.
y=\frac{1-\operatorname{sec} x}{\operatorname{tg} x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular y'=\frac{d}{dx}\bigl(\frac{1-\operatorname{sec} x}{\tan x}\bigr). O conteúdo envolvido é derivação de funções trigonométricas usando simplificação de expressões e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro simplificamos em termos de \sin e \cos:
y = \frac{1 - \operatorname{sec} x}{\tan x} = \frac{1 - \frac{1}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\frac{\cos x - 1}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x - 1}{\sin x}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente a
u = \cos x - 1,\quad v = \sin x.
Temos
u' = -\sin x, \quad v' = \cos x,
e
y' = \frac{u'v - u\,v'}{v^2} = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x - 1)(\cos x)}{\sin^2 x} = \frac{-\sin^2 x - (\cos^2 x - \cos x)}{\sin^2 x}.

Passo 4

Usando \sin^2 x + \cos^2 x = 1, o numerador fica
-\sin^2 x - \cos^2 x + \cos x = -1 + \cos x
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y' = \frac{\cos x - 1}{\sin^2 x}.

Resposta

y' = \frac{\cos x - 1}{\sin^2 x}.

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