Encontre a derivada da função:
f(x)=\frac{(x-1)^{4}}{\left(x^{2}+2 x\right)^{5}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{(x-1)^{4}}{\bigl(x^{2}+2x\bigr)^{5}}.
O conteúdo principal aqui é o uso da regra do produto e da regra da cadeia. Para simplificar o cálculo, vamos reescrever
f(x) = (x-1)^{4}\,(x^{2}+2x)^{-5}.
Chamamos
u(x) = (x-1)^{4} \quad\text{e}\quad v(x) = (x^{2}+2x)^{-5},
e aplicaremos a regra do produto f'=u'\,v + u\,v'.

Passo 2

Calculamos u'(x) usando a regra da potência:
u'(x) = 4\,(x-1)^{3}.
Para v'(x), aplicamos a regra da cadeia a (x^{2}+2x)^{-5}:
a derivada de t^{-5} em relação a t é -5\,t^{-6}, e t=x^{2}+2x tem derivada 2x+2. Logo,
v'(x) = -5\,(x^{2}+2x)^{-6}\,(2x+2).

Passo 3

Usando a regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) \;+\; u(x)\,v'(x) = 4\,(x-1)^{3}\,(x^{2}+2x)^{-5} \;+\;(x-1)^{4}\,\bigl[-5\,(x^{2}+2x)^{-6}\,(2x+2)\bigr].
Colocamos em evidência o fator comum (x-1)^{3}\,(x^{2}+2x)^{-6}:
f'(x) = (x-1)^{3}\,(x^{2}+2x)^{-6} \Bigl[4\,(x^{2}+2x)\;-\;5\,(x-1)(2x+2)\Bigr].

Passo 4

Agora simplificamos o conteúdo dos colchetes:
4\,(x^{2}+2x) = 4x^{2}+8x, \quad (x-1)(2x+2) = 2x^{2}-2,
então
4x^{2}+8x \;-\;5\,(2x^{2}-2) = 4x^{2}+8x \;-\;10x^{2}+10 = -6x^{2}+8x+10.
Substituindo de volta, obtemos
f'(x) = (x-1)^{3}\,(x^{2}+2x)^{-6}\,\bigl(-6x^{2}+8x+10\bigr).
Para escrever como quociente, elevamos (x^{2}+2x) ao denominador na sexta potência.

Resposta

f'(x) = \frac{(x-1)^{3}\,\bigl(-6x^{2}+8x+10\bigr)}{(x^{2}+2x)^{6}}.

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