Determine as assíntotas da curva h(x)=xraizx^2+1.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas da curva
h(x)=xraizx^2+1
Para isso vamos estudar o domínio (possíveis assíntotas verticais) e os limites em xtopminfty (assíntotas horizontais ou oblíquas).

Passo 2

O denominador raizx^2+1 nunca zera para xinR, pois x^2+1>0. Logo, não há pontos onde h(x)topminfty por divisão por zero. Concluímos que não existem assíntotas verticais.

Passo 3

Para xto+infty dividimos numerador e denominador por x:
h(x) =xraizx^2+1 =x|x|raiz1+1x^2
Como x>0, temos |x|=x, logo
h(x)=xxraiz1+1x^2 =1raiz1+1x^2 ;xrightarrow[xto+infty];1
Portanto existe assíntota horizontal
y=1(xto+infty)

Passo 4

Para xto-infty novamente escrevemos
h(x) =x|x|raiz1+1x^2
Agora x<0 implica |x|=-x, então
h(x) =x-,xraiz1+1x^2 =-1raiz1+1x^2 ;xrightarrow[xto-infty];-1
Isso dá a assíntota horizontal
y=-1(xto-infty)

Passo 5

Não há possibilidade de assíntota oblíqua porque em ambos os infinities a função tende a constantes.

Resposta

Não há assíntotas verticais.
As assíntotas horizontais são
y=1quando xto+infty, y=-1quando xto-infty

Exercícios relacionados