7^{\text {a }} Questão. Esboce as curvas e determine a área da região delimitada por elas.
y=1 / x, y=x^{2}, y=0, x=e

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \,y=\tfrac1x, \,y=x^2, o eixo y=0 e a reta vertical x=e. O conteúdo é cálculo de área por integrais definidas, usando o fato de que a fronteira muda de curva em x=1, onde se cruzam y=x^2 e y=\tfrac1x.

Passo 2

Determinar as interseções úteis:
– Resolvendo x^2=\tfrac1x
x^3=1\quad\Longrightarrow\quad x=1,
logo ponto de encontro em (1,1).
– A curva y=\tfrac1x cruza x=e em \bigl(e,\tfrac1e\bigr).
– A parábola y=x^2 cruza o eixo y=0 em (0,0).
Com isso, o contorno da região no primeiro quadrante é:
(0,0) → (1,1) pela parábola,
(1,1) → \bigl(e,\tfrac1e\bigr) pela hipérbola, \bigl(e,\tfrac1e\bigr) → (e,0) pela reta x=e,
(e,0) → (0,0) pelo eixo y=0.

Passo 3

Para calcular a área, notamos que junto ao eixo y=0 há duas “tampas”:
  • Em 0\le x\le1, o teto é y=x^2.
  • Em 1\le x\le e, o teto é y=\tfrac1x.
Assim a área total é
A=\int_{0}^{1}x^2\,dx\;+\;\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Calcular cada integral:
\int_{0}^{1}x^2\,dx =\Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{3}, \qquad \int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx =\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{e} =\ln e-\ln1 =1.
Logo
A=\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{4}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{4}{3}.

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