Questão. Esboce as curvas e determine a área da região delimitada por elas.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
, o eixo
e a reta vertical
. O conteúdo é cálculo de área por integrais definidas, usando o fato de que a fronteira muda de curva em
, onde se cruzam
e
.
Passo 2
Determinar as interseções úteis:
– Resolvendo dá
– Resolvendo
logo ponto de encontro em
.
– A curva cruza
em
.
– A parábola cruza o eixo
em
.
– A curva
– A parábola
Com isso, o contorno da região no primeiro quadrante é:
(0,0) → (1,1) pela parábola,
(1,1) → pela hipérbola,
→ (e,0) pela reta
,
(e,0) → (0,0) pelo eixo .
(0,0) → (1,1) pela parábola,
(1,1) →
(e,0) → (0,0) pelo eixo
Passo 3
Para calcular a área, notamos que junto ao eixo
há duas “tampas”:
- Em
, o teto é . - Em
, o teto é .
Assim a área total é
Passo 4
Calcular cada integral:
Logo
Resposta
A área da região é