Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada da função $ F(x) = \int_{x}^{1} \sqrt{t + \sin t} , dt $. Aqui estamos lidando com cálculo integral e derivadas, mais especificamente com a relação entre a derivada de uma função definida por uma integral e a própria função integranda. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele conecta a derivada de uma função com sua integral. Mais especificamente, se temos uma função definida como $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) , dt $, então a derivada $ F’(x) $ é simplesmente $ f(x) $. Isso facilita bastante porque, em vez de calcular o limite da razão incremental, podemos encontrar a derivada diretamente usando a função dentro da integral.
Passo 3
No nosso caso, a função está definida como $ F(x) = \int_{x}^{1} \sqrt{t + \sin t} , dt $. Note que o limite inferior da integral é $ x $ e o superior é uma constante, $ 1 $. Quando o limite inferior é a variável, a derivada da função será o negativo da função integranda avaliada nesse limite. Isso ocorre porque ao aumentar $ x $, a área da integral diminui.
Passo 4
Aplicando isso, a derivada de $ F(x) $ em relação a $ x $ será:
O sinal negativo aparece porque o $ x $ está no limite inferior da integral.
Resposta
A derivada da função é $ F’(x) = -\sqrt{x + \sin x} $.