Calcular f^{\prime}(x).
f(x)=x \ln x \operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\,\ln x\,\csc x.
Aqui vamos usar a regra do produto para três fatores e também que
a derivada de \ln x é \tfrac1x e a derivada de \csc x é -\csc x\cot x.

Passo 2

Definimos
u(x)=x,
v(x)=\ln x
e
w(x)=\csc x.
Pela regra do produto para três fatores,
f'(x)=u'(x)\,v(x)\,w(x)+u(x)\,v'(x)\,w(x)+u(x)\,v(x)\,w'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u'(x)=1,
v'(x)=\tfrac1x
e, usando a regra da cadeia em \csc x=(\sin x)^{-1},
w'(x)=\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x\,\cot x.

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=1\cdot\ln x\cdot\csc x + x\cdot\frac1x\cdot\csc x + x\cdot\ln x\cdot\bigl(-\csc x\,\cot x\bigr),
obtemos
f'(x)=\ln x\,\csc x + \csc x - x\,\ln x\,\csc x\,\cot x.

Passo 5

Para simplificar, fatoramos \csc x:
f'(x) =\csc x\bigl(\ln x + 1 - x\,\ln x\,\cot x\bigr).

Resposta

f'(x)=\csc x\bigl(\ln x + 1 - x\,\ln x\,\cot x\bigr).

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