Encontre a derivada da função.
A(r)=raizr cdot e^r^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função A(r) = raizr cdot e^r^2 + 1 . Vamos usar o conteúdo de Cálculo diferencial, especificamente a regra do produto, que é útil quando temos duas funções sendo multiplicadas. Vamos precisar conhecer como derivar funções de potências e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • f(r) = raizr
  • g(r) = e^r^2 + 1

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas funções separadamente.
Para f(r) = raizr , podemos reescrever como r^1/2 . A derivada de r^n é n cdot r^n-1 , então:
f'(r) = 12 cdot r^-1/2 = 12raizr

Passo 4

Para g(r) = e^r^2 + 1 , usamos a regra da cadeia. A derivada de e^u em relação a r é e^u cdot dudr , onde u = r^2 + 1 . Então:
g'(r) = e^r^2 + 1 cdot (2r) = 2r cdot e^r^2 + 1

Passo 5

Agora que temos f'(r) e g'(r) , aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de f cdot g é f' cdot g + f cdot g' . Então:
A'(r) = f'(r) cdot g(r) + f(r) cdot g'(r)
Substituindo os valores que encontramos:
A'(r) = ( 12raizr ) cdot e^r^2 + 1 + raizr cdot (2r cdot e^r^2 + 1)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro termo:
12raizr cdot e^r^2 + 1
Segundo termo:
raizr cdot 2r cdot e^r^2 + 1 = 2r cdot raizr cdot e^r^2 + 1 = 2r^3/2 cdot e^r^2 + 1

Passo 7

Juntando os dois termos, temos:
A'(r) = e^r^2 + 12raizr + 2r^3/2 cdot e^r^2 + 1
Podemos fatorar e^r^2 + 1 para simplificar ainda mais:
A'(r) = e^r^2 + 1 ( 12raizr + 2r^3/2 )

Resposta

A derivada da função é:
A'(r) = e^r^2 + 1 ( 12raizr + 2r^3/2 )

Exercícios relacionados