Exercício 1 Resolva os problemas de valor inicial:
ly^prime-cos (t y)=t e^t^2+sen t y(0)=2

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
y' - cos t,y = t,e^t^2 + sin t, y(0)=2,
que é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos na forma padrão
y' + p(t),y = q(t),
identificando
p(t) = -cos t, q(t) = t,e^t^2 + sin t

Passo 3

O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(-integral cos t,dtr) = e^-sin t

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(t)=e^-sin t:
e^-sin ty' - cos t,e^-sin ty = t,e^t^2 + sin t,e^-sin t = t,e^t^2
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^-sin ty, isto é,
ddtl(e^-sin tyr) = t,e^t^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
e^-sin ty = integral t,e^t^2,dt + C = tfrac12,e^t^2 + C

Passo 6

Isolamos y e aplicamos a condição inicial y(0)=2. Como sin0=0 e e^0=1, temos
y = e^sin tl(tfrac12,e^t^2 + Cr), 2 = y(0) = 1cdot(tfrac12cdot1 + C) ;Longrightarrow; C = tfrac32
Logo,
y(t) = e^sin tl(tfrac12,e^t^2 + tfrac32r) = e^t^2+sin t + 3,e^sin t2

Resposta

y(t) = e^t^2+sin t + 3,e^sin t2

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