Determine se a sĂŠrie ĂŠ absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-3)^n(2 n+1)!.

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a série
sumn=1^infty (-3)^n(2n+1)!
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo aqui é testes de convergência de séries numéricas, em especial o conceito de convergência absoluta e o teste da razão.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série das magnitudes dos termos:
sumn=1^infty |(-3)^n(2n+1)!| = sumn=1^infty 3^n(2n+1)!

Passo 3

Aplicamos o teste da razão a
an=3^n(2n+1)!. Calculamos
L = limntoinftyan+1an = limntoinfty 3^n+1/(2(n+1)+1)!3^n/(2n+1)! = limntoinfty3(2n+2)(2n+3) =0
Como L=0<1, a série sum an converge.

Passo 4

Já que a série das magnitudes converge, a série original converge absolutamente. Sendo absolutamente convergente, ela não pode ser apenas condicional nem divergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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