Utilize o vetor gradiente para determinar:
(a) equação da reta tangente à curva de nível
da função
no ponto
.
(b) equação da reta tangente à curva de nível
da função
no ponto
.
(a) equação da reta tangente à curva de nível
(b) equação da reta tangente à curva de nível
Passo 1
Enunciado e dados importantes (sem resolver ainda):
- (a) Função dada:
. Curva de nível: . Ponto onde queremos a reta tangente: . - (b) Função dada:
. Curva de nível: . Ponto onde queremos a reta tangente: . - O que se pede em cada item: a equação da reta tangente à curva de nível indicada, passando pelo ponto dado.
Passo 2
Conceito-chave: gradiente e sua relação com curvas de nível.
- Definição do gradiente: para uma função diferenciável
, o vetor gradiente é
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
(mantendo
fixo).
- Propriedade útil: o gradiente
em um ponto é perpendicular (ortogonal) à curva de nível de que passa por esse ponto. Intuição rápida: se você anda ao longo da curva de nível a função não muda, então a derivada direcional nesse sentido é zero; como a derivada direcional na direção do vetor unitário é , conclui-se , logo é ortogonal ao vetor tangente. - Consequência prática: a equação da reta tangente à curva
no ponto pode ser escrita como
Isto dá uma equação linear em
e
para a reta tangente.
Passo 3
Item (a) — cálculo do gradiente e equação da reta tangente.
- Calcular as derivadas parciais de
:
- Portanto o gradiente é
- Avaliar o gradiente no ponto
:
- Escrever a condição de ortogonalidade para a reta tangente: usando
,
- Desenvolvendo o produto escalar:
- Expandir e simplificar:
- Dividindo por
para simplificar:
- Isolando
na forma explícita:
- Verificação rápida (checar que a reta passa pelo ponto): para
temos , que é o do ponto dado. Perfeito.
Passo 4
Item (b) — cálculo do gradiente e equação da reta tangente.
- Calcular as derivadas parciais de
:
- Portanto o gradiente é
- Avaliar no ponto
:
- Escrever a condição de ortogonalidade:
,
- Desenvolvendo o produto escalar:
- Expandir e simplificar:
- Isolar
:
- Verificação rápida: para
obtemos , que é o ponto dado — está correto.
Passo 5
Resumo final e motivação rápida: usamos a ideia de que o gradiente aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular às curvas de nível. Assim a condição
dá diretamente a reta tangente. Você consegue aplicar isso em qualquer problema semelhante: calcule
, avalie no ponto, faça o produto escalar e resolva para obter a equação da reta. Vai dar certo — segue firme que você aprende rapidinho!
Resposta
(a)
(b)