Utilize o vetor gradiente para determinar:
(a) equação da reta tangente à curva de nível k=7 da função f(x, y)=x^{3}-y^{3} no ponto (2,1).
(b) equação da reta tangente à curva de nível k=1 da função f(x, y)=y^{5}+2 x no ponto (0,1).

Passo 1

Enunciado e dados importantes (sem resolver ainda):
  • (a) Função dada: f(x,y)=x^{3}-y^{3}. Curva de nível: k=7. Ponto onde queremos a reta tangente: (2,1).
  • (b) Função dada: f(x,y)=y^{5}+2x. Curva de nível: k=1. Ponto onde queremos a reta tangente: (0,1).
  • O que se pede em cada item: a equação da reta tangente à curva de nível indicada, passando pelo ponto dado.

Passo 2

Conceito-chave: gradiente e sua relação com curvas de nível.
  • Definição do gradiente: para uma função diferenciável f(x,y), o vetor gradiente é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y (mantendo x fixo).
  • Propriedade útil: o gradiente \nabla f em um ponto é perpendicular (ortogonal) à curva de nível de f que passa por esse ponto. Intuição rápida: se você anda ao longo da curva de nível a função f não muda, então a derivada direcional nesse sentido é zero; como a derivada direcional na direção do vetor unitário u é \nabla f\cdot u, conclui-se \nabla f\cdot u=0, logo \nabla f é ortogonal ao vetor tangente.
  • Consequência prática: a equação da reta tangente à curva f(x,y)=k no ponto (x_0,y_0) pode ser escrita como
\nabla f(x_0,y_0)\cdot (x-x_0,y-y_0)=0.
Isto dá uma equação linear em x e y para a reta tangente.

Passo 3

Item (a) — cálculo do gradiente e equação da reta tangente.
  • Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{3}-y^{3}:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-3y^{2}.
  • Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=(3x^{2},\;-3y^{2}).
  • Avaliar o gradiente no ponto (2,1):
\nabla f(2,1)=(3\cdot 2^{2},\;-3\cdot 1^{2})=(12,\;-3).
  • Escrever a condição de ortogonalidade para a reta tangente: usando \nabla f(2,1)\cdot (x-2,y-1)=0,
(12,\,-3)\cdot(x-2,y-1)=0.
  • Desenvolvendo o produto escalar:
12(x-2)-3(y-1)=0.
  • Expandir e simplificar:
12x-24-3y+3=0 \quad\Rightarrow\quad 12x-3y-21=0.
  • Dividindo por 3 para simplificar:
4x-y-7=0.
  • Isolando y na forma explícita:
y=4x-7.
  • Verificação rápida (checar que a reta passa pelo ponto): para x=2 temos y=4\cdot 2-7=1, que é o y do ponto dado. Perfeito.

Passo 4

Item (b) — cálculo do gradiente e equação da reta tangente.
  • Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=y^{5}+2x:
\frac{\partial f}{\partial x}=2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=5y^{4}.
  • Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=(2,\;5y^{4}).
  • Avaliar no ponto (0,1):
\nabla f(0,1)=(2,\;5\cdot 1^{4})=(2,\;5).
  • Escrever a condição de ortogonalidade: \nabla f(0,1)\cdot (x-0,y-1)=0,
(2,5)\cdot(x,y-1)=0.
  • Desenvolvendo o produto escalar:
2x+5(y-1)=0.
  • Expandir e simplificar:
2x+5y-5=0.
  • Isolar y:
5y=5-2x \quad\Rightarrow\quad y=1-\frac{2}{5}x.
  • Verificação rápida: para x=0 obtemos y=1, que é o ponto dado — está correto.

Passo 5

Resumo final e motivação rápida: usamos a ideia de que o gradiente aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular às curvas de nível. Assim a condição \nabla f(x_0,y_0)\cdot(x-x_0,y-y_0)=0 dá diretamente a reta tangente. Você consegue aplicar isso em qualquer problema semelhante: calcule \nabla f, avalie no ponto, faça o produto escalar e resolva para obter a equação da reta. Vai dar certo — segue firme que você aprende rapidinho!

Resposta

(a) y=4x-7
(b) y=1-\dfrac{2}{5}x

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