Para os sistemas dados a seguir: escreva-os na forma matricial, dê as soluções fundamentais e a solução geral .
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
e pede (1) a forma matricial, (2) as soluções fundamentais e (3) a solução geral. Vamos usar o método de autovalores e autovetores, que consiste em escrever o sistema como
, encontrar os valores próprios
a partir de
e em seguida os vetores próprios para compor as soluções fundamentais.
Passo 2
Escrevendo em forma matricial, definimos
de modo que o sistema fica
Passo 3
Para achar os autovalores, calculamos
Resolvendo
, obtemos
logo
Passo 4
Agora achamos os autovetores:
Para
, resolvemos
que dá
, escolha
,
. O autovetor é
.
Para
, resolvemos
que dá
, escolha
,
. O autovetor é
.
As soluções fundamentais são então
Passo 5
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais:
onde
e
são constantes arbitrárias determinados pelas condições iniciais.
Resposta
(1) Forma matricial:
(2) Soluções fundamentais:
(3) Solução geral: