Para os sistemas dados a seguir: escreva-os na forma matricial, dê as soluções fundamentais e a solução geral .
x^{\prime}=2 x+3 y
y^{\prime}=2 x+y

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x' = 2x + 3y,\\\ y' = 2x + y, \end{cases}
e pede (1) a forma matricial, (2) as soluções fundamentais e (3) a solução geral. Vamos usar o método de autovalores e autovetores, que consiste em escrever o sistema como X'=AX, encontrar os valores próprios \lambda a partir de \det(A-\lambda I)=0 e em seguida os vetores próprios para compor as soluções fundamentais.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, definimos
X = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}2 & 3\\[6pt] 2 & 1\end{pmatrix},
de modo que o sistema fica
X' = AX.]

Passo 3

Para achar os autovalores, calculamos
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 3\\[4pt]2 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(1-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4.
Resolvendo \lambda^2 - 3\lambda -4=0, obtemos
\lambda = \frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2} = \frac{3\pm5}{2},
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\lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = -1.]

Passo 4

Agora achamos os autovetores:
Para \lambda_1=4, resolvemos
(A - 4I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-2 & 3\\[4pt]2 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = 0,
que dá -2v_1 +3v_2=0, escolha v_1=3, v_2=2. O autovetor é
\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-1, resolvemos
(A + I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = 0,
que dá 3v_1+3v_2=0, escolha v_1=1, v_2=-1. O autovetor é
\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
As soluções fundamentais são então
X_1(t) = \begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix} e^{4t}, \quad X_2(t) = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} e^{-t}.]

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais:
X(t) = C_1\,X_1(t) + C_2\,X_2(t) = C_1\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}e^{4t} + C_2\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinados pelas condições iniciais.

Resposta

(1) Forma matricial:
X' = \begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}X.
(2) Soluções fundamentais:
X_1(t) = \begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}e^{4t}, \quad X_2(t) = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}e^{-t}.
(3) Solução geral:
X(t) = C_1\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}e^{4t} + C_2\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}e^{-t}.]

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