Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.
y=\operatorname{arc} \operatorname{cossec}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = \operatorname{arccsc}\bigl(e^{x}\bigr).
O conteúdo aqui é derivada de função trigonométrica inversa (a arccosecante) junto com a regra da cadeia. Vamos usar a fórmula da derivada de \operatorname{arccsc}(u) e a derivada de e^{x}.

Passo 2

Definimos u = e^{x}, de modo que
y = \operatorname{arccsc}(u).
Pela regra da cadeia,
y' = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

A derivada de \operatorname{arccsc}(u) é dada por
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arccsc}(u)\bigr] = -\frac{1}{\lvert u\rvert\,\sqrt{u^{2}-1}},
que se obtém por diferenciar implicitamente u = \csc(y).

Passo 4

Como \frac{du}{dx}=e^{x} e u=e^{x}>0, temos \lvert u\rvert = u = e^{x}. Substituindo na expressão de y':
y' = \Bigl(-\frac{1}{u\sqrt{u^{2}-1}}\Bigr)\cdot e^{x} = -\frac{e^{x}}{e^{x}\,\sqrt{e^{2x}-1}} = -\frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}.

Resposta

y' = -\frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}.

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