encontre a derivada da função.
y=\int_{2 x}^{3 x+1} \operatorname{sen}\left(t^{4}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\int_{2x}^{3x+1}\operatorname{sen}\big(t^{4}\big)\,dt.
Pergunta explicitamente: encontrar y' (ou \dfrac{dy}{dx}).
Informações dadas:
  • A integranda é \operatorname{sen}\big(t^{4}\big).
  • O limite inferior da integral é a função de x dada por a(x)=2x.
  • O limite superior da integral é a função de x dada por b(x)=3x+1.

Passo 2

Ideia básica que vamos usar (explicação didática): se tivermos uma função F tal que F'(u)=f(u) para todo u (ou seja, F é uma primitiva de f), então, por definição de integral e pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\frac{d}{du}\left(\int_{c}^{u} f(t)\,dt\right)=f(u).
Isso significa: a derivada em relação a u da integral com limite superior u (e limite inferior fixo) é simplesmente o integrando avaliado em u. Não precisa memorizar sem entender: imagine acumular área até o ponto u; um pequeno aumento em u aumenta a área aproximadamente em f(u) vezes o aumento — portanto a derivada é f(u).

Passo 3

Generalização para limites que dependem de x (a regra de Leibniz): se y(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt, escrevemos y(x)=F(b(x))-F(a(x)) onde F é uma primitiva de f. Aplicando a regra da cadeia ao derivar essa diferença obtemos
y'(x)=F'\big(b(x)\big)\cdot b'(x)-F'\big(a(x)\big)\cdot a'(x).
Mas como F'(u)=f(u), isso dá a fórmula prática e muito usada:
\boxed{\,\dfrac{d}{dx}\left(\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt\right)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x)\,}
Explicando a regra da cadeia aqui: se você tem uma composição H(x)=F(u(x)), então H'(x)=F'(u(x))\cdot u'(x). No nosso caso u(x) é b(x) ou a(x), e F' é f.

Passo 4

Verificações (continuidade etc.): o integrando f(t)=\operatorname{sen}(t^{4}) é contínuo para todo t (seno é contínuo e t\mapsto t^{4} é contínuo, composição de contínuas é contínua). Portanto existe primitiva F e a fórmula acima é válida. Agora identificamos na fórmula:
f(t)=\operatorname{sen}\big(t^{4}\big),\qquad a(x)=2x,\qquad b(x)=3x+1.

Passo 5

Calcule as derivadas dos limites:
a'(x)=\frac{d}{dx}\big(2x\big)=2,\qquad b'(x)=\frac{d}{dx}\big(3x+1\big)=3.
Agora aplique a fórmula de Leibniz:
y'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
Substituindo f, a e b,
y'(x)=\operatorname{sen}\big((3x+1)^{4}\big)\cdot 3-\operatorname{sen}\big((2x)^{4}\big)\cdot 2.

Passo 6

Pequena simplificação/comentário final: podemos escrever (2x)^{4}=(2^{4})(x^{4})=16x^{4} se quiser uma forma alternativa. Mantendo clareza,
y'(x)=3\operatorname{sen}\big((3x+1)^{4}\big)-2\operatorname{sen}\big(16x^{4}\big).

Resposta

y'=3\operatorname{sen}\big((3x+1)^{4}\big)-2\operatorname{sen}\big(16x^{4}\big)

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