encontre a derivada da função.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Pergunta explicitamente: encontrar
(ou
).
Informações dadas:
Informações dadas:
- A integranda é
. - O limite inferior da integral é a função de
dada por . - O limite superior da integral é a função de
dada por .
Passo 2
Ideia básica que vamos usar (explicação didática): se tivermos uma função
tal que
para todo
(ou seja,
é uma primitiva de
), então, por definição de integral e pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Isso significa: a derivada em relação a
da integral com limite superior
(e limite inferior fixo) é simplesmente o integrando avaliado em
. Não precisa memorizar sem entender: imagine acumular área até o ponto
; um pequeno aumento em
aumenta a área aproximadamente em
vezes o aumento — portanto a derivada é
.
Passo 3
Generalização para limites que dependem de
(a regra de Leibniz): se
, escrevemos
onde
é uma primitiva de
. Aplicando a regra da cadeia ao derivar essa diferença obtemos
Mas como
, isso dá a fórmula prática e muito usada:
Explicando a regra da cadeia aqui: se você tem uma composição
, então
. No nosso caso
é
ou
, e
é
.
Passo 4
Verificações (continuidade etc.): o integrando
é contínuo para todo
(seno é contínuo e
é contínuo, composição de contínuas é contínua). Portanto existe primitiva
e a fórmula acima é válida. Agora identificamos na fórmula:
Passo 5
Calcule as derivadas dos limites:
Agora aplique a fórmula de Leibniz:
Substituindo
,
e
,
Passo 6
Pequena simplificação/comentário final: podemos escrever
se quiser uma forma alternativa. Mantendo clareza,