calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
Informações dadas e objetivo:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e . - Queremos o valor numérico exato da integral.
Pronto — agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Vou usar integração por partes. Primeiro, vamos relembrar e entender a fórmula de integração por partes de um jeito bem direto e amigo: se você tem duas funções diferenciáveis
e
, a regra do produto diz
Integrando dos dois lados e rearranjando, obtemos a fórmula de integração por partes:
Aqui:
-
é a função que vamos diferenciar (ficará ), -
é a parte que vamos integrar para obter .
A boa escolha dee facilita muito a conta — geralmente escolhemos como a parte “mais difícil de integrar” (mas fácil de derivar).
Passo 3
Escolha de
e
para o nosso caso. Temos
, que é chato de integrar diretamente, mas é simples de derivar; a outra parte é
. Então escolhemos:
Calculemos
e
:
- A derivada de
é
válida para
, e nosso intervalo
está dentro disso, então tudo certo.
- Como
, uma primitiva é .
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes (indefinida) temos:
Substituindo
,
e
:
Observe o sinal: o integrando dentro da segunda integral fica com sinal mais porque
é negativo. Assim:
Passo 5
Agora resolvemos a integral
por substituição. Escolho a substituição simples
Então
Substituindo:
Integrando:
Voltando para
:
. Portanto
Passo 6
Substituindo esse resultado na primitiva obtida no Passo 4, uma primitiva de
é
Agora aplicamos aos limites da integral definida
:
Passo 7
Calculemos
nos pontos:
- Para
: -
(do círculo trigonométrico), -
.
Então
-
- Para
: -
, -
.
Então
-
Agora a diferença: