calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
\int_{0}^{1 / 2} \operatorname{arccos} (\mathrm{x}) \mathrm{dx}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{1/2} \operatorname{arccos}(x)\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A função integranda é \operatorname{arccos}(x).
  • Os limites de integração são 0 e 1/2.
  • Queremos o valor numérico exato da integral.
    Pronto — agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Vou usar integração por partes. Primeiro, vamos relembrar e entender a fórmula de integração por partes de um jeito bem direto e amigo: se você tem duas funções diferenciáveis u(x) e v(x), a regra do produto diz
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando dos dois lados e rearranjando, obtemos a fórmula de integração por partes:
\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)\,v(x)\,dx.
Aqui:
  • u(x) é a função que vamos diferenciar (ficará u'(x)),
  • v'(x)\,dx é a parte que vamos integrar para obter v(x).
    A boa escolha de u e v' facilita muito a conta — geralmente escolhemos u como a parte “mais difícil de integrar” (mas fácil de derivar).

Passo 3

Escolha de u e v' para o nosso caso. Temos \operatorname{arccos}(x), que é chato de integrar diretamente, mas é simples de derivar; a outra parte é dx. Então escolhemos:
u(x)=\operatorname{arccos}(x),\qquad v'(x)=1.
Calculemos u'(x) e v(x):
  • A derivada de \operatorname{arccos}(x) é
u'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{arccos}(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
válida para -1<x<1, e nosso intervalo [0,1/2] está dentro disso, então tudo certo.
  • Como v'(x)=1, uma primitiva é v(x)=x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes (indefinida) temos:
\int \operatorname{arccos}(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx.
Substituindo u, v e u':
\int \operatorname{arccos}(x)\,dx = x\operatorname{arccos}(x) - \int \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\,x\,dx.
Observe o sinal: o integrando dentro da segunda integral fica com sinal mais porque u'(x) é negativo. Assim:
\int \operatorname{arccos}(x)\,dx = x\operatorname{arccos}(x) + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.

Passo 5

Agora resolvemos a integral \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx por substituição. Escolho a substituição simples
t = 1 - x^{2}.
Então
dt = -2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{2}\,dt.
Substituindo:
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int \frac{x}{\sqrt{t}}\left(-\frac{1}{2}\,dt\right) = -\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt.
Integrando:
-\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt = -\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -t^{1/2}+C.
Voltando para x: t^{1/2}=\sqrt{1-x^{2}}. Portanto
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = -\sqrt{1-x^{2}} + C.

Passo 6

Substituindo esse resultado na primitiva obtida no Passo 4, uma primitiva de \operatorname{arccos}(x) é
F(x) = x\operatorname{arccos}(x) - \sqrt{1-x^{2}} + C.
Agora aplicamos aos limites da integral definida [0,1/2]:
\int_{0}^{1/2} \operatorname{arccos}(x)\,dx = F\!\left(\tfrac{1}{2}\right) - F(0).

Passo 7

Calculemos F nos pontos:
  • Para x=\tfrac{1}{2}:
    • \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{\pi}{3} (do círculo trigonométrico),
    • \sqrt{1-(1/2)^{2}}=\sqrt{1-\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
      Então
    F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Para x=0:
    • \operatorname{arccos}(0)=\tfrac{\pi}{2},
    • \sqrt{1-0^{2}}=1.
      Então
    F(0)=0\cdot\tfrac{\pi}{2}-1 = -1.
Agora a diferença:
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)-F(0)=\left(\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-(-1) =1+\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

1+\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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