encontre a derivada da função.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja, calcular
. Informação relevante: o integrando é
e o limite superior da integral é
, que depende de
. O limite inferior é a constante
.
Passo 2
Vou lembrar um teorema essencial (de forma bem direta): se definimos
com
contínua, então a derivada de
é
Explicando as letras:
é a função integranda em relação a
;
é um número fixo;
é a variável do limite superior. Esse resultado é o “Teorema Fundamental do Cálculo” (parte que liga integral com derivada): derivar uma integral com limite superior igual à variável devolve o integrando avaliado na variável.
Passo 3
Agora a variação importante: quando o limite superior é uma função de
, digamos
, definimos
Nesse caso podemos escrever
, onde
é a primitiva definida em
. Aplicando a regra da cadeia (porque
é composição de
e
) obtemos
Pelo teorema do passo anterior
. Substituindo
resulta
Explicando:
é a derivada do limite superior;
é o integrando avaliado no limite superior.
Passo 4
No nosso problema temos
e
. Primeiro calculo
. A regra de derivação de potência diz que, para
, temos
. Aplicando com
:
Explicando: multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1.
Passo 5
Agora aplico a fórmula do passo 3 com
e
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Simplifico a potência:
. Logo a expressão fica mais simples:
Observação final: como
é contínua para todo
, não há problema em aplicar o teorema e a regra da cadeia para qualquer
.