encontre a derivada da função.
g(x)=\int_{0}^{x^{4}} \cos \left(t^{2}\right) d t.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\int_{0}^{x^{4}} \cos\left(t^{2}\right)\,dt
e pede para encontrar a derivada de g em relação a x, ou seja, calcular g'(x). Informação relevante: o integrando é \cos\!\left(t^{2}\right) e o limite superior da integral é x^{4}, que depende de x. O limite inferior é a constante 0.

Passo 2

Vou lembrar um teorema essencial (de forma bem direta): se definimos
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
com f contínua, então a derivada de F é
F'(x)=f(x).
Explicando as letras: f(t) é a função integranda em relação a t; a é um número fixo; x é a variável do limite superior. Esse resultado é o “Teorema Fundamental do Cálculo” (parte que liga integral com derivada): derivar uma integral com limite superior igual à variável devolve o integrando avaliado na variável.

Passo 3

Agora a variação importante: quando o limite superior é uma função de x, digamos u(x), definimos
G(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt.
Nesse caso podemos escrever G(x)=F(u(x)), onde F é a primitiva definida em F(s)=\int_{a}^{s} f(t)\,dt. Aplicando a regra da cadeia (porque G é composição de F e u) obtemos
G'(x)=F'(u(x))\cdot u'(x).
Pelo teorema do passo anterior F'(s)=f(s). Substituindo s=u(x) resulta
G'(x)=f(u(x))\cdot u'(x).
Explicando: u'(x) é a derivada do limite superior; f(u(x)) é o integrando avaliado no limite superior.

Passo 4

No nosso problema temos f(t)=\cos\!\left(t^{2}\right) e u(x)=x^{4}. Primeiro calculo u'(x). A regra de derivação de potência diz que, para \,u(x)=x^{n}\,, temos \,u'(x)=n x^{n-1}\,. Aplicando com n=4:
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{4}\right)=4x^{3}.
Explicando: multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1.

Passo 5

Agora aplico a fórmula do passo 3 com f(t)=\cos\!\left(t^{2}\right) e u(x)=x^{4}:
g'(x)=f(u(x))\cdot u'(x)=\cos\!\left((u(x))^{2}\right)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x^{4} e u'(x)=4x^{3}:
g'(x)=\cos\!\left((x^{4})^{2}\right)\cdot 4x^{3}.

Passo 6

Simplifico a potência: (x^{4})^{2}=x^{8}. Logo a expressão fica mais simples:
g'(x)=4x^{3}\cos\!\left(x^{8}\right).
Observação final: como \cos\!\left(t^{2}\right) é contínua para todo t\in\mathbb{R}, não há problema em aplicar o teorema e a regra da cadeia para qualquer x\in\mathbb{R}.

Resposta

g'(x)=4x^{3}\cos\!\left(x^{8}\right)

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