Encontre a derivada das funções abaixo:
(e) f(t)=(t+e^t)(3-raizt)

Passo 1

O problema pede a derivada de f(t)= (t+e^{t})(3-\sqrt{t}). Vamos usar conteúdo de derivada de produto, derivada de e^{t} e derivada de raiz quadrada, aplicando também a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos u(t)= t+e^{t} e v(t)= 3-\sqrt{t}. A regra do produto diz que f’(t)= u’(t),v(t) + u(t),v’(t).

Passo 3

Calculamos a derivada de u: u’(t)= 1 + e^{t}, e a derivada de v: como \sqrt{t}= t^{1/2}, temos v’(t)= -\frac{1}{2}t^{-1/2}= -\frac{1}{2\sqrt{t}}.

Passo 4

Substituímos na fórmula da regra do produto: f’(t)= (1+e^{t})(3-\sqrt{t}) + (t+e^{t})\Bigl(-\frac{1}{2\sqrt{t}}\Bigr).

Passo 5

Reescrevendo de forma mais limpa, agrupamos o segundo termo: f’(t)= (1+e^{t})(3-\sqrt{t}) - \frac{t+e^{t}}{2\sqrt{t}}.

Resposta

(1+e^t)(3-raizt) - t+e^t2raizt

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