Encontre a derivada das funções abaixo:
(e)
(e)
Passo 1
O problema pede a derivada de f(t)= (t+e^{t})(3-\sqrt{t}). Vamos usar conteúdo de derivada de produto, derivada de e^{t} e derivada de raiz quadrada, aplicando também a regra da cadeia.
Passo 2
Definimos u(t)= t+e^{t} e v(t)= 3-\sqrt{t}. A regra do produto diz que f’(t)= u’(t),v(t) + u(t),v’(t).
Passo 3
Calculamos a derivada de u: u’(t)= 1 + e^{t}, e a derivada de v: como \sqrt{t}= t^{1/2}, temos v’(t)= -\frac{1}{2}t^{-1/2}= -\frac{1}{2\sqrt{t}}.
Passo 4
Substituímos na fórmula da regra do produto: f’(t)= (1+e^{t})(3-\sqrt{t}) + (t+e^{t})\Bigl(-\frac{1}{2\sqrt{t}}\Bigr).
Passo 5
Reescrevendo de forma mais limpa, agrupamos o segundo termo: f’(t)= (1+e^{t})(3-\sqrt{t}) - \frac{t+e^{t}}{2\sqrt{t}}.