Sejam f:[a, b] R^n e phi:[a, b] R funções de classe C^1 tais que |f^prime(t)| <= phi^prime(t) para todo t in(a, b). Mostre que
|f(b)-f(a)| <= phi(b)-phi(a)

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos duas funções de classe C¹, f:[a,b]→ℝⁿ e φ:[a,b]→ℝ, e a hipótese é que para todo t em (a,b) vale |f'(t)| <= phi'(t). O objetivo é mostrar que |f(b)-f(a)| <= phi(b)-phi(a). Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais e propriedades da norma e da integral.

Passo 2

Por ser f de classe C¹ em [a,b], podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo componente a componente. Assim,
f(b)-f(a)=integrala^b f'(t),dt

Passo 3

Agora usamos a desigualdade triangular para a norma e propriedades da integral de funções vetoriais:
|f(b)-f(a)| = |integrala^b f'(t),dt| <= integrala^b |f'(t)|,dt

Passo 4

Pela hipótese de que |f'(t)| <= phi'(t) para todo t, segue que
integrala^b |f'(t)|,dt <= integrala^b phi'(t),dt

Passo 5

Como φ é de classe C¹, o Teorema Fundamental do Cálculo na versão escalar dá
integrala^b phi'(t),dt = phi(b)-phi(a)

Passo 6

Reunindo tudo, obtemos
|f(b)-f(a)| <= integrala^b |f'(t)|,dt <= integrala^b phi'(t),dt = phi(b)-phi(a), que é exatamente o que queríamos mostrar.

Resposta

|f(b)-f(a)| <= phi(b)-phi(a)

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