Sejam e funções de classe tais que para todo . Mostre que
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos duas funções de classe C¹, f:[a,b]→ℝⁿ e φ:[a,b]→ℝ, e a hipótese é que para todo t em (a,b) vale . O objetivo é mostrar que . Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais e propriedades da norma e da integral.
Passo 2
Por ser f de classe C¹ em [a,b], podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo componente a componente. Assim,
Passo 3
Agora usamos a desigualdade triangular para a norma e propriedades da integral de funções vetoriais:
Passo 4
Pela hipótese de que |f'(t)| <= phi'(t) para todo t, segue que
integrala^b |f'(t)|,dt <= integrala^b phi'(t),dt
Passo 5
Como φ é de classe C¹, o Teorema Fundamental do Cálculo na versão escalar dá
integrala^b phi'(t),dt = phi(b)-phi(a)
Passo 6
Reunindo tudo, obtemos
|f(b)-f(a)| <= integrala^b |f'(t)|,dt <= integrala^b phi'(t),dt = phi(b)-phi(a), que é exatamente o que queríamos mostrar.