Encontre a derivada das funções abaixo.
f(x)=\left[x+\left(x+\operatorname{sen}^{2} x\right)^{3}\right]^{4}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\bigl[x+(x+\sin^{2}x)^{3}\bigr]^{4}. O conteúdo aqui é regra da cadeia para derivar uma potência composta e, internamente, outra potência composta. Vamos usar a fórmula da derivada de [u(x)]^{n} e depois derivar cada parte interna.

Passo 2

Defina
u(x)=x+(x+\sin^{2}x)^{3}.
Como f(x)=[u(x)]^{4}, pela regra da cadeia temos
f'(x)=4\,[u(x)]^{3}\,u'(x) =4\bigl[x+(x+\sin^{2}x)^{3}\bigr]^{3}\,u'(x).

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Escrevendo
u(x)=x+(x+\sin^{2}x)^{3},
vemos que
u'(x)=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(x+\sin^{2}x)^{3} =1+\frac{d}{dx}(x+\sin^{2}x)^{3}.

Passo 4

Para derivar (x+\sin^{2}x)^{3}, faça outra troca:
v(x)=x+\sin^{2}x,
então
\frac{d}{dx}[v(x)]^{3}=3\,[v(x)]^{2}\,v'(x).

Passo 5

Precisamos de v'(x). Como v(x)=x+\sin^{2}x,
v'(x)=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(\sin^{2}x) =1+2\sin x\cos x.

Passo 6

Substituindo em u'(x), obtemos
u'(x)=1+3\,(x+\sin^{2}x)^{2}\,\bigl(1+2\sin x\cos x\bigr).

Passo 7

Voltando a f'(x), temos
f'(x) =4\bigl[x+(x+\sin^{2}x)^{3}\bigr]^{3} \Bigl[1+3\,(x+\sin^{2}x)^{2}\,(1+2\sin x\cos x)\Bigr].

Resposta

f'(x) =4\bigl[x+(x+\sin^{2}x)^{3}\bigr]^{3} \Bigl[1+3\,(x+\sin^{2}x)^{2}\,(1+2\sin x\cos x)\Bigr].

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