Encontre y^{\prime} derivando implicatamente.
y=\operatorname{sen}^{-1} x, em que \operatorname{sen} y=x

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos y = \arcsin(x) e, para usar diferenciação implícita, escrevemos a relação equivalente
\sin(y) = x.
Queremos encontrar y' = \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de \sin(y)=x em relação a x, aplicamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(y)\bigr) = \cos(y)\,\frac{dy}{dx} \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}(x)=1.
Logo obtemos
\cos(y)\,y' = 1.

Passo 3

Isolando y', vem
y' = \frac{1}{\cos(y)}.

Passo 4

Para escrever \cos(y) em função de x, usamos a identidade
\cos^2(y) = 1 - \sin^2(y)
e o fato de \sin(y)=x. Assim
\cos(y) = \sqrt{1 - x^2} \quad(\text{escolhendo o sinal positivo no domínio de }\arcsin).í
Substituindo em y', resulta
y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Resposta

y' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

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