Encontre a derivada das funções algébricas abaixo. Simplifique o resultado final quando possível.
(0,5 pt) f(x)=(1+2 raizx)(x-x^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a derivada da função algébrica
f(x) = (1 + 2raizx)(x - x^3)
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com a regra do produto para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções polinomiais e funções com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função u(x) = 1 + 2raizx . São elas:
v(x) = x - x^3
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
A regra do produto diz que, se , então a derivada é:

Passo 3

Vamos encontrar u(x) = 1 + 2x^1/2 . A função u'(x) = 1raizx pode ser escrita como:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de 1 é 0.
  • A derivada de é
    Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar v'(x) = 1 - 3x^2 . A função é um polinômio simples. Derivando termo a termo:
  • A derivada de é 1.
  • A derivada de é
    Então:

Passo 5

Agora que temos f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) e f'(x) = ( 1raizx )(x - x^3) + (1 + 2raizx)(1 - 3x^2) , vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar cada parte:
Primeira parte:
( 1raizx )(x - x^3) = xraizx - x^3raizx = x^1 - 1/2 - x^3 - 1/2 = x^1/2 - x^5/2 = raizx - x^5/2
Segunda parte:
(1 + 2raizx)(1 - 3x^2) = 1 cdot 1 + 1 cdot (-3x^2) + 2raizx cdot 1 + 2raizx cdot (-3x^2)
= 1 - 3x^2 + 2raizx - 6x^2raizx

Passo 7

Agora, juntando as duas partes simplificadas:
f'(x) = (raizx - x^5/2) + (1 - 3x^2 + 2raizx - 6x^2raizx)
Vamos combinar termos semelhantes:
  • f'(x) = 1 + 3raizx - 3x^2 - x^5/2 - 6x^2raizx
  • O termo constante é 1.
  • ficam separados porque não têm termos semelhantes.
Então:

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 1 + 3raizx - 3x^2 - x^5/2 - 6x^2raizx

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