Usar
(b) r<0 e 0 <= theta<2 pi;
para escrever os pontos P1(raiz3,-1) e P2(-raiz2,-raiz2), em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para converter os pontos P₁(√3,−1) e P₂(−√2,−√2) para coordenadas polares usando a convenção r<0 e 0≤θ<2π. O conteúdo aqui é coordenadas polares com raio negativo, e vamos precisar usar as fórmulas
r=√(x²+y²) e θ=atan2(y,x), ajustando depois r<0 trocando r por −r e somando π em θ (mod 2π).

Passo 2

Para P₁(√3,−1):
Calcule o raio:
r=√((√3)²+(−1)²)=√(3+1)=2.
Calcule o ângulo principal com r>0:
θ=atan2(−1,√3)=−π/6, que em [0,2π) equivale a θ=11π/6.
Como queremos r<0, definimos r′=−2 e θ′=11π/6+π=17π/6≡5π/6 (mod 2π).

Passo 3

Para P₂(−√2,−√2):
Calcule o raio:
r=√((−√2)²+(−√2)²)=√(2+2)=2.
Calcule o ângulo principal com r>0:
θ=atan2(−√2,−√2)=atan2(−1,−1)=π+π/4=5π/4.
Para ter r<0, tomamos r′=−2 e θ′=5π/4+π=9π/4≡π/4 (mod 2π).

Resposta

P₁ em polares: (-2,tfrac5pi6); P₂ em polares: (-2,tfracpi4).

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