Encontre a derivada das funçöes algébricas usando técnicas de derivação.
F(y)=(1+5 y^5)(2y^2-4y^4)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função algébrica dada por:
F(y) = (1 + 5 y^5)(2y^2 - 4y^4)
Vamos usar técnicas de derivação, especificamente a regra do produto e a regra da potência, que nos ajudam a encontrar a derivada de funções que são produtos ou potências de variáveis.

Passo 2

Antes de derivar, vamos simplificar a função para facilitar o cálculo. Primeiro, vamos multiplicar os termos dentro dos parênteses:
(1 + 5 y^5)(2y^2 - 4y^4) = 1 cdot 2y^2 + 1 cdot (-4y^4) + 5 y^5 cdot 2y^2 + 5 y^5 cdot (-4y^4)

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
= 2y^2 - 4y^4 + 10 y^5y^2 - 20 y^5y^4
Simplificando as frações:
= 2 y^-2 - 4 y^-4 + 10 y^3 - 20 y^1

Passo 4

Agora que a função está simplificada, podemos encontrar a derivada termo a termo usando a regra da potência, que diz que a derivada de y^n é n y^n-1:
dFdy = ddy(2 y^-2) + ddy(-4 y^-4) + ddy(10 y^3) + ddy(-20 y)
Aplicando a regra da potência:
= 2 cdot (-2) y^-3 - 4 cdot (-4) y^-5 + 10 cdot 3 y^2 - 20 cdot 1

Passo 5

Simplificando os coeficientes:
= -4 y^-3 + 16 y^-5 + 30 y^2 - 20
Podemos reescrever os termos com potências negativas como frações:
= -4y^3 + 16y^5 + 30 y^2 - 20

Resposta

A derivada da função é:
dFdy = -4y^3 + 16y^5 + 30 y^2 - 20

Exercícios relacionados