Encontre a derivada das funçöes algébricas usando técnicas de derivação.
g(x)=(raiz[3]x+1)(raizx-x^4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função algébrica . Para isso, vamos usar técnicas de derivação, especificamente a regra do produto, já que a função é o produto de duas funções: e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do produto. Se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja, g'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) , a derivada é dada por:
Isso significa que precisamos derivar cada uma das funções e separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de u'(x) = ddx(x^1/3) + ddx(1) = 13x^-2/3 + 0 = 13x^-2/3 .
Primeiro, reescrevemos v'(x) = ddx(x^1/2) - ddx(x^4) = 12x^-1/2 - 4x^3 como . A derivada de é . Então:
Agora, vamos derivar .
Reescrevemos como . Então:

Passo 4

Agora que temos g'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) e g'(x) = (13x^-2/3) cdot (raizx - x^4) + (raiz[3]x + 1) cdot (12x^-1/2 - 4x^3) , vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, simplificamos cada termo:
13x^-2/3 cdot raizx = 13x^-2/3 cdot x^1/2 = 13x^(-2/3 + 1/2) = 13x^-1/6
13x^-2/3 cdot (-x^4) = -13x^-2/3 cdot x^4 = -13x^(4 - 2/3) = -13x^10/3
Agora, para o segundo termo:
(raiz[3]x + 1) cdot 12x^-1/2 = 12x^-1/2 cdot x^1/3 + 12x^-1/2 = 12x^-1/2 + 1/3 + 12x^-1/2 = 12x^-1/6 + 12x^-1/2
(raiz[3]x + 1) cdot (-4x^3) = -4x^3 cdot x^1/3 -4x^3 = -4x^10/3 -4x^3
Agora juntando tudo:
g'(x) = 13x^-1/6 - 13x^10/3 + 12x^-1/6 + 12x^-1/2 -4x^10/3 -4x^3
Vamos combinar termos semelhantes:
g'(x) = (13 + 12)x^-1/6 + 12x^-1/2 - (13 + 4)x^10/3 -4x^3
Calculando os coeficientes:
13 + 12 = 26 + 36 = 56
13 + 4 = 13 + 123 = 133
Então:
g'(x) = 56x^-1/6 + 12x^-1/2 - 133x^10/3 -4x^3

Resposta

A derivada da função g'(x) = 56x^-1/6 + 12x^-1/2 - 133x^10/3 -4x^3 é:

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