Encontre a derivada das funçöes algébricas usando técnicas de derivação.
f(x)=x^3-3 x^2x^2+5 x-4

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função algébrica . Para isso, vamos usar o Conteúdo de Derivadas e especificamente a Regra do Quociente, que é utilizada para derivar funções que estão na forma de uma fração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que correspondem ao numerador e ao denominador.
  • Numerador (u):
  • Denominador (v):

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de u'(x) = ddx(x^3) - ddx(3x^2) = 3x^2 - 6x e v'(x) = ddx(x^2) + ddx(5x) - ddx(4) = 2x + 5 .
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 4

Aplicamos a Regra do Quociente, que diz que a derivada de f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2 é:
f'(x) = (3x^2 - 6x)(x^2 + 5x -4) - (x^3 - 3x^2)(2x + 5)(x^2 + 5x -4)^2
Substituindo , , e na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão no numerador:
  1. Multiplicando 3x^2 cdot x^2 = 3x^4 por 3x^2 cdot 5x = 15x^3 :
    3x^2 cdot (-4) = -12x^2
    -6x cdot x^2 = -6x^3
    -6x cdot 5x = -30x^2
    -6x cdot (-4) = 24x
    x^3 cdot 2x = 2x^4
    x^3 cdot 5 = 5x^3
    Somando tudo: -3x^2 cdot 2x = -6x^3
  2. Multiplicando -3x^2 cdot 5 = -15x^2 por (3x^4 + 9x^3 -42x^2 +24x) - (2x^4 -x^3 -15x^2) = x^4 + 10x^3 -27x^2 +24x :
    Somando tudo:
Subtraindo as duas expressões:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(x) = x^4 + 10x^3 -27x^2 +24x(x^2 + 5x -4)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = x^4 + 10x^3 -27x^2 +24x(x^2 + 5x -4)^2

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