Encontre a derivada das funções dadas.
f(x)=(x^2-1)(3 x-1)(5 x^3+2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (x^2 - 1),(3x - 1),(5x^3 + 2x)
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto estendida para três fatores e o cálculo de derivadas simples de polinômios.

Passo 2

Seja
u(x) = x^2 - 1, v(x) = 3x - 1, w(x) = 5x^3 + 2x
As derivadas são
u'(x) = 2x, v'(x) = 3, w'(x) = 15x^2 + 2

Passo 3

A regra do produto para três funções diz que
f'(x) = u'(x),v(x),w(x) + u(x),v'(x),w(x) + u(x),v(x),w'(x)

Passo 4

Substituindo u,v,w e suas derivadas em f', obtemos
f'(x) = 2x,(3x - 1),(5x^3 + 2x) + (x^2 - 1)cdot 3,(5x^3 + 2x) + (x^2 - 1),(3x - 1),(15x^2 + 2)

Passo 5

Para simplificar, notamos que os dois primeiros termos têm fator comum 5x^3+2x. Assim,
f'(x) = (5x^3 + 2x)l[2x(3x - 1) + 3(x^2 - 1)r] + (x^2 - 1)(3x - 1)(15x^2 + 2)
Dentro do colchete temos
2x(3x - 1) + 3(x^2 - 1) = 6x^2 - 2x + 3x^2 - 3 = 9x^2 - 2x - 3
Logo,
f'(x) = (5x^3 + 2x)(9x^2 - 2x - 3) + (x^2 - 1)(3x - 1)(15x^2 + 2)

Resposta

f'(x) = (5x^3 + 2x)(9x^2 - 2x - 3) + (x^2 - 1)(3x - 1)(15x^2 + 2)

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