Considere a sequência:
a) Ache uma fórmula recursiva para
.
b) Encontre o limite de
.
a) Ache uma fórmula recursiva para
b) Encontre o limite de
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede:
a) uma fórmula recursiva para em função de
;
b) o valor do limite .
e pede:
a) uma fórmula recursiva para
b) o valor do limite
Passo 2
Para enxergar a recursão, note que cada termo é obtido pegando a raiz quadrada de
somado ao termo anterior. Definindo
seguimos para
Logo a fórmula recursiva é
Passo 3
Para garantir que o limite existe, mostramos que
é monótona crescente e limitada acima.
- (Crescimento) Como
e a função é crescente para , se então
Assim, por indução,
é crescente.
2. (Bounded) Se existir um tal que
implica
, então
fica preso abaixo de
. Suponha
; como
2. (Bounded) Se existir um
segue
. E
. Logo todos
.
Por Teorema do Valor Fixo para sequências monótonas e limitadas,
converge a um limite finito
.
Passo 4
No limite
temos
, então
Elevando ao quadrado:
As raízes dessa equação quadrática são
isto é,
ou
. Como todos os
são positivos, o limite deve ser
Resposta
a)
b)
b)