Considere a sequência:
raiz12, raiz12+raiz12, raiz12+raiz12+raiz12, raiz12+raiz12+raiz12+raiz12
a) Ache uma fórmula recursiva para an+1.
b) Encontre o limite de an.

Passo 1

O enunciado define a sequência
raiz12, raiz12+raiz12, raiz12+raiz12+raiz12, dots
e pede:
a) uma fórmula recursiva para an+1 em função de an;
b) o valor do limite limntoinftyan.

Passo 2

Para enxergar a recursão, note que cada termo é obtido pegando a raiz quadrada de 12 somado ao termo anterior. Definindo
a1 = raiz12,
seguimos para
a2 = raiz12 + a1, a3 = raiz12 + a2,;dots
Logo a fórmula recursiva é
an+1 = raiz12 + an

Passo 3

Para garantir que o limite existe, mostramos que (an) é monótona crescente e limitada acima.
  1. (Crescimento) Como a1=raiz12approx3,464 e a função xmapsto raiz12+x é crescente para x>=0, se an> an-1 então
an+1 = raiz12 + an > raiz12 + an-1 = an
Assim, por indução, (an) é crescente.
2. (Bounded) Se existir um M tal que an < M implica an+1 < M, então an fica preso abaixo de M. Suponha an <4; como
raiz12 + an < raiz12 + 4 = 4,
segue an+1<4. E a1<4. Logo todos an<4.
Por Teorema do Valor Fixo para sequências monótonas e limitadas, an converge a um limite finito L.

Passo 4

No limite ntoinfty temos an+1approx anapprox L, então
L = raiz12 + L
Elevando ao quadrado:
L^2 = 12 + L
L^2 - L - 12 = 0
As raízes dessa equação quadrática são
L = 1 pm raiz1 + 482 = 1 pm 72,
isto é, L = 4 ou L = -3. Como todos os an são positivos, o limite deve ser
L = 4

Resposta

a) an+1 = raiz12 + an, a1=raiz12
b) limntoinftyan = 4

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