Encontre a derivada das funções dadas.
f(x)=(1-2 raiz3+x^6)^1 / 5

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(1-2raiz3+x^6r)^1/5
Vamos usar a regra da cadeia repetidamente, aplicando o poder de uma função composta e a derivada da raiz quadrada.

Passo 2

Definimos as funções intermediárias para aplicar a cadeia em etapas:
u(x)=1-2,v(x), v(x)=raiz3+x^6=(3+x^6)^1/2, g(u)=u^1/5
Então f(x)=gl(u(x)r).

Passo 3

Derivada da função externa g(u)=u^1/5 pelo poder:
g'(u)=15,u^-4/5

Passo 4

Derivada de u(x)=1-2,v(x):
u'(x)=-2,v'(x)

Passo 5

Derivada de v(x)=(3+x^6)^1/2 usando a regra da cadeia outra vez:
v'(x)=12(3+x^6)^-1/2cdot 6x^5 =;3x^5,(3+x^6)^-1/2

Passo 6

Agora combinamos tudo pela regra da cadeia:
f'(x)=g'l(u(x)r),u'(x) =15u(x)^-4/5;l[-2,v'(x)r]
Substituindo v'(x):
f'(x) =15l(1-2raiz3+x^6r)^-4/5 ;l[-2cdot 3x^5,(3+x^6)^-1/2r] =-6x^55,(3+x^6)^-1/2,(1-2raiz3+x^6)^-4/5

Passo 7

Para ficar mais legível, escrevemos (3+x^6)^-1/2=1/raiz3+x^6:
f'(x)=-6x^55,raiz3+x^6,l(1-2raiz3+x^6r)^4/5

Resposta

f'(x)=-6x^55,raiz3+x^6,l(1-2raiz3+x^6r)^4/5

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