Encontre a derivada das funções dadas.
f(x)=raiz[3]arcsen(xraiz1-x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raiz[3]arcsinl(xraiz1-x^2r)
Aqui vamos aplicar a regra da cadeia três vezes: primeiro na raiz cúbica, depois em arcsin, e por fim na função interna u(x)=x/raiz1-x^2.

Passo 2

Definimos
u(x)=xraiz1-x^2=x,(1-x^2)^-tfrac12
Usando produto e cadeia,
u'(x)=(1-x^2)^-tfrac12 + xcdotl(-tfrac12r)(1-x^2)^-tfrac32l(-2xr) =(1-x^2)^-tfrac12+x^2(1-x^2)^-tfrac32
Fatorando (1-x^2)^-tfrac32 no numerador:
u'(x)=l[(1-x^2)+x^2r],(1-x^2)^-tfrac32 =1cdot(1-x^2)^-tfrac32 =1(1-x^2)^tfrac32

Passo 3

Agora para A(x)=arcsinl(u(x)r) vale
A'(x)=u'(x)raiz1-u(x)^2
Calculamos
1-u(x)^2 =1-x^21-x^2 =1-2x^21-x^2,
logo
raiz1-u(x)^2 =raiz1-2x^2raiz1-x^2
Logo
A'(x) =1(1-x^2)^tfrac32 raiz1-2x^2raiz1-x^2 =1(1-x^2),raiz1-2x^2

Passo 4

Finalmente, para
f(x)=l[A(x)r]^tfrac13
a regra da cadeia dá
f'(x) =13l[A(x)r]^-tfrac23,A'(x) =13,l[arcsinl(xraiz1-x^2r)r]^tfrac23 cdot1(1-x^2),raiz1-2x^2

Resposta

f'(x) =13,(1-x^2),raiz1-2x^2,l[arcsin!l(tfracxraiz1-x^2r)r]^tfrac23

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