Encontre a derivada das funções dadas.
f(x)=tg raizx+arc cos x(x-1) sec ^3 4 x

Passo 1

Temos
f(x)=tanl(raizxr);+;arccos(x)(x-1),sec^3(4x)
e queremos f'(x).
Conteúdos usados: regra da cadeia para tan(raizx), derivada de arccos(x), derivada de sec^3(4x) pela cadeia e produto, e regra do quociente para o segundo termo.

Passo 2

Calcular
f1(x)=tanl(raizxr)
Defina u(x)=raizx=x^1/2. Então
f1'(x)=sec^2l(u(x)r),u'(x) =sec^2l(raizxr)cdot12raizx =sec^2l(raizxr)2raizx

Passo 3

Agora o segundo termo
f2(x)=g(x)h(x), g(x)=arccos(x), h(x)=(x-1),sec^3(4x)
Derivadas parciais:
g'(x)=-1raiz1-x^2
Para
sec^3(4x)=[sec(4x)]^3, use produto interno:
ddxsec^3(4x) =3[sec(4x)]^2cdotddxl(sec(4x)r) =3sec^2(4x)cdotl(sec(4x)tan(4x)cdot4r) =12,sec^3(4x),tan(4x)
Então por produto
h'(x) =ddxl[(x-1)r]cdotsec^3(4x) +(x-1)cdotddxl[sec^3(4x)r] =sec^3(4x) +12,(x-1),sec^3(4x),tan(4x)

Passo 4

Aplicando regra do quociente
f2'(x) =h(x),g'(x)-g(x),h'(x)[h(x)]^2 =(x-1)sec^3(4x),l(-1raiz1-x^2r) -arccos(x),l[sec^3(4x)+12(x-1)sec^3(4x)tan(4x)r] l[(x-1)sec^3(4x)r]^2

Passo 5

Juntando
f'(x)=f1'(x)+f2'(x),
ou seja
f'(x) =sec^2l(raizxr)2raizx +-(x-1)sec^3(4x)/raiz1-x^2 -arccos(x),l[sec^3(4x)+12(x-1)sec^3(4x)tan(4x)r] (x-1)^2sec^6(4x)

Resposta

f'(x) =sec^2l(raizxr)2raizx +(x-1)sec^3(4x)l(-1raiz1-x^2r) -arccos(x)l[sec^3(4x)+12(x-1)sec^3(4x)tan(4x)r] l[(x-1)sec^3(4x)r]^2

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