Exercício 2) A temperatura T no ponto P=(x, y, z) é dada por T(x, y, z)= 2 x^2+4 y^2+9 z^2. Utilizando diferenciais obtenha uma aproximação da diferença de T entre os pontos (6,3,2) e (6.1, 3.3, 1.98). Qual é a variação exata da temperatura? Qual é o erro cometido usando diferenciais?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em função de (x,y,z) como
T(x,y,z)=2x^2+4y^2+9z^2
e pede:
– uma aproximação da variação De<a T entre P0=(6,3,2) e P1=(6,1,3,,3,,1,98) usando diferenciais;
– a variação exata De<a T=T(P1)-T(P0);
– o erro da aproximação linear.

Passo 2

Para a aproximação usamos a diferencial total
dT=partial Tpartial xdx+partial Tpartial ydy+partial Tpartial zdz
Calculamos os parciais e avaliamos em P0:
partial Tpartial x=4xRightarrowpartial Tpartial x(6,3,2)=24,
partial Tpartial y=8yRightarrowpartial Tpartial y(6,3,2)=24,
partial Tpartial z=18zRightarrowpartial Tpartial z(6,3,2)=36
O vetor de incrementos é
(dx,dy,dz)=(6,1,3-3,;1,98-2)=(0,1,,0,3,,-0,02)

Passo 3

A aproximação é
dT=24cdot0,1+24cdot0,3+36cdot(-0,02)=2,4+7,2-0,72=8,88

Passo 4

Para a variação exata calculamos
T(6,1,3,1,98)=2,(6,1,)^2+4,(3,3)^2+9,(1,98)^2=74,42+43,56+35,2836=153,2636,
T(6,3,2)=2cdot36+4cdot9+9cdot4=144,
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De<a Texato=153,2636-144=9,2636

Passo 5

O erro da aproximação linear é
erro=De<a Texato-dT=9,2636-8,88=0,3836

Resposta

Aproximação da variação: De<a Tapprox8,88.
Variação exata: De<a T=9,2636.
Erro da aproximação: 0,3836.

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