Encontre a derivada das funções a seguir.
f(x)=x cdot tg x cdot e^2 x.

Passo 1

Resumo do enunciado: vamos derivar a função f(x)=xcdottan xcdot e^2x. O conteúdo principal é a regra do produto (para três fatores) e as derivadas básicas de x, de tan x e de e^2x.

Passo 2

Para usar a regra do produto em três fatores, identificamos: u(x)=x, v(x)=tan x e w(x)=e^2x. A regra do produto diz que
f'(x)=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais:
  • u'(x)=1.
  • Para v(x)=tan x, sabemos que v'(x)=sec^2x.
  • Para w(x)=e^2x, usamos a regra da cadeia: w'(x)=e^2xcdot2=2e^2x.

Passo 4

Substituímos na fórmula da regra do produto:
f'(x)=1cdottan xcdot e^2x+xcdotsec^2xcdot e^2x+xcdottan xcdot2e^2x

Passo 5

Colocamos e^2x em evidência para simplificar:
f'(x)=e^2xl(tan x + xsec^2x +2xtan xr)

Resposta

f'(x)=e^2xl(tan x + xsec^2x +2xtan xr).

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