Encontre a derivada das funções a seguir.
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a derivada da função $ f(x) = \cot^{2}(\sin(\pi x)) $. Aqui, vamos trabalhar com derivadas de funções compostas e trigonométricas. Precisamos usar a regra da cadeia e conhecer as derivadas das funções seno e cotangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as camadas da função composta. Temos a função cotangente elevada ao quadrado de seno de $ \pi x $. Podemos pensar nisso como:
$ f(x) = [\cot(g(x))]^2 $, onde $ g(x) = \sin(\pi x) $.
Para derivar $ \cot^{2}(g(x)) $, vamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta $ [h(g(x))]^n $ é $ n[h(g(x))]^{n-1} \cdot h’(g(x)) \cdot g’(x) $. Aplicando isso à nossa função:
$ f’(x) = 2 \cot(g(x)) \cdot \frac{d}{dx} \cot(g(x)) $.
Passo 4
Agora, precisamos derivar $ \cot(g(x)) $. A derivada da cotangente é:
$ \frac{d}{dx} \cot(u) = -\csc^{2}(u) \cdot \frac{du}{dx} $.
Aplicando isso a $ \cot(g(x)) $:
$ \frac{d}{dx} \cot(g(x)) = -\csc^{2}(g(x)) \cdot g’(x) $.
Passo 5
Vamos calcular $ g’(x) $, onde $ g(x) = \sin(\pi x) $. A derivada do seno é:
$ g’(x) = \pi \cos(\pi x) $.
Passo 6
Substituindo $ g’(x) $ na expressão anterior:
$ \frac{d}{dx} \cot(g(x)) = -\csc^{2}(\sin(\pi x)) \cdot \pi \cos(\pi x) $.
Passo 7
Agora, voltamos à expressão para $ f’(x) $:
$ f’(x) = 2 \cot(\sin(\pi x)) \cdot [ -\csc^{2}(\sin(\pi x)) \cdot \pi \cos(\pi x) ] $.
Simplificando os sinais:
$ f’(x) = -2\pi \cot(\sin(\pi x)) \csc^{2}(\sin(\pi x)) \cos(\pi x) $.
Resposta
A derivada da função é: