Encontre a derivada das funções a seguir.
f(x)=x cos x1+x.

Passo 1

A gente quer derivar a função f(x)=xcos x1+x. O conteúdo aqui envolve as regras de derivada de produto (no numerador) e de quociente (para a função como um todo).

Passo 2

Vamos chamar o numerador de h(x)=xcos x e o denominador de g(x)=1+x. A regra do quociente diz que
f'(x)=h'(x),g(x)-h(x),g'(x)[g(x)]^2

Passo 3

Agora derivamos h(x)=xcos x usando a regra do produto: a derivada de x é 1 e a de cos x é -sin x. Logo
h'(x)=1cdotcos x + xcdot(-sin x)=cos x - xsin x

Passo 4

A derivada de g(x)=1+x é bem direta:
g'(x)=1

Passo 5

Substituindo na fórmula do quociente, temos
f'(x)=(cos x - xsin x)(1+x) - xcos x(1+x)^2

Passo 6

Por fim, expandindo e simplificando o numerador:
(cos x - xsin x)(1+x) - xcos x = cos x + xcos x - xsin x - x^2sin x - xcos x = cos x - xsin x - x^2sin x, e fatorando xsin x:
cos x - xsin x - x^2sin x = cos x - x(1+x)sin x

Passo 7

Logo a derivada fica
f'(x)=cos x - x(1+x)sin x(1+x)^2

Resposta

f'(x)=dfraccos x - x(1+x)sin x(1+x)^2

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