Encontre a derivada das funções trigonométrica inversas abaixo:
\frac{d}{d x}(\operatorname{arcsec} x)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • O enunciado pede a derivada da função \operatorname{arcsec} x, ou seja, calcular \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{arcsec} x\big).
  • Informação implícita sobre o domínio: a função \operatorname{arcsec} x está definida para |x|\ge 1 (o caso relevante para derivada será |x|>1).
    Nada mais é dado — a resolução começa a seguir.

Passo 2

Trocar a função inversa por uma relação direta para poder derivar. Defina
y=\operatorname{arcsec} x.
Por definição de função inversa isso é equivalente a
x=\operatorname{sec} y.
Aqui y é a variável dependente (função de x) e x é a variável independente.

Passo 3

Diferencie implicitamente em relação a x. Derivando ambos os lados da igualdade x=\operatorname{sec} y obtemos:
\frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} y).
O lado esquerdo dá 1. No lado direito use a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{sec} y em relação a y é \operatorname{sec} y\tan y e então multiplica-se por dy/dx. Assim
1=\operatorname{sec} y\tan y\cdot\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Isolar \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec} y\tan y}.
Como \operatorname{sec} y=x (pela relação inicial), isso fica
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\tan y}.

Passo 5

Expressar \tan y em termos de x. Use a identidade pitagórica para funções trigonométricas:
\tan^{2}y=\operatorname{sec}^{2}y-1.
Substituindo \operatorname{sec} y=x vem
\tan^{2}y=x^{2}-1,
portanto
\tan y=\pm\sqrt{x^{2}-1}.
Agora atenção ao sinal: ele depende do ramo principal de \operatorname{arcsec}. Para a definição principal usual de \operatorname{arcsec} tem-se y\in[0,\pi]\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\}. Assim:
  • se x>1 então y\in[0,\tfrac{\pi}{2}) e \tan y\ge0, logo \tan y=+\sqrt{x^{2}-1};
  • se x<-1 então y\in(\tfrac{\pi}{2},\pi] e \tan y\le0, logo \tan y=-\sqrt{x^{2}-1}.
Podemos escrever esse sinal compactamente como
\tan y=\operatorname{sgn}(x)\sqrt{x^{2}-1},
onde \operatorname{sgn}(x)=x/|x|.

Passo 6

Substitua \tan y em \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\tan y}:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\cdot\big(\operatorname{sgn}(x)\sqrt{x^{2}-1}\big)}.
Multiplicando x por \operatorname{sgn}(x) |x|. Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 7

Verificação rápida e observações:
  • A expressão final é positiva para x>1\) e também para \(x<-1\) (porque o produto no denominador é positivo em ambos os ramos). - A derivada não existe em \(|x|=1\) porque \(\sqrt{x^{2}-1}=0\) (denominador nulo). - Forma equivalente, escrita peça por peça: \[\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arcsec} x\big)= \begin{cases} \dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}, & x>1,\\[6pt] \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}, & |x|>1\\ \text{(forma compacta)},\\[6pt] \dfrac{-1}{x\sqrt{x^{2}-1}}, & x<-1\\ \text{(se reescrever eliminando \(|x|)}. \end{cases}]
Tudo válido para x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty).]

Passo 8

Pequeno exemplo numérico para firmar a ideia: para x=2,
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arcsec} x\big)\Big|_{x=2}=\frac{1}{2\sqrt{2^{2}-1}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Isso confere com a fórmula geral apresentada.

Resposta

\dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{arcsec} x\big)=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}},\quad |x|>1

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