Encontre a derivada das funções trigonométrica inversas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- O enunciado pede a derivada da função
, ou seja, calcular . - Informação implícita sobre o domínio: a função
está definida para (o caso relevante para derivada será ).
Nada mais é dado — a resolução começa a seguir.
Passo 2
Trocar a função inversa por uma relação direta para poder derivar. Defina
Por definição de função inversa isso é equivalente a
Aqui
é a variável dependente (função de
) e
é a variável independente.
Passo 3
Diferencie implicitamente em relação a
. Derivando ambos os lados da igualdade
obtemos:
O lado esquerdo dá
. No lado direito use a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
e então multiplica-se por
. Assim
Passo 4
Isolar
:
Como
(pela relação inicial), isso fica
Passo 5
Expressar
em termos de
. Use a identidade pitagórica para funções trigonométricas:
Substituindo
vem
portanto
Agora atenção ao sinal: ele depende do ramo principal de
. Para a definição principal usual de
tem-se
. Assim:
- se
então e , logo ; - se
então e , logo .
Podemos escrever esse sinal compactamente como
onde
.
Passo 6
Substitua
em
:
Multiplicando
por
dá
. Portanto
Passo 7
Verificação rápida e observações:
- A expressão final é positiva para )}. \end{cases}]
Tudo válido para
.]
Passo 8
Pequeno exemplo numérico para firmar a ideia: para
,
Isso confere com a fórmula geral apresentada.