Encontre a derivada das funções trigonométrica inversas abaixo: \frac{d}{d x}(\operatorname{arccos} x)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a derivada de \operatorname{arccos} x, ou seja, calcular
\frac{d}{d x}\big(\operatorname{arccos} x\big).
Informações dadas/implícitas:
A função considerada é \operatorname{arccos} x, a função arco cosseno (inversa do cosseno restrito).
O domínio natural onde a inversa existe é x\in[-1,1], mas a derivada só pode ser obtida para x onde a expressão final fizer sentido (veremos isso adiante).
Pedido: obter a expressão da derivada em termos de x.
Passo 2
Defino uma variável auxiliar para fazer diferenciação implícita, porque é a forma mais direta:
y=\operatorname{arccos} x.
Pelo significado da função inversa, isso equivale a
\cos y = x.
Aqui y é o ângulo cujo cosseno é x. Importante sobre o intervalo: para a função \operatorname{arccos} toma-se a principal, então y\in[0,\pi]. Vou usar isso depois para escolher o sinal correto da raiz.
Passo 3
Agora diferencio ambos os lados da igualdade \cos y = x em relação a x. No lado esquerdo uso diferenciação de uma função composta (regra da cadeia): a derivada de \cos y em relação a x é -\sin y vezes dy/dx. No lado direito a derivada de x em relação a x é 1. Portanto:
Agora é crucial escolher o sinal correto. Lembre que, pela definição principal, y=\operatorname{arccos} x pertence a [0,\pi]. Nessa faixa temos \sin y \ge 0. Então devemos tomar o sinal positivo:
\sin y = \sqrt{1 - x^{2}}\quad\text{(para }y\in[0,\pi]\text{)}.
Passo 6
Substituo \sin y = \sqrt{1 - x^{2}} na expressão de \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.
Portanto a derivada fica expressa em função de x. Observação sobre domínio: a expressão envolve \sqrt{1-x^{2}} no denominador, então faz sentido (número real e não zero) para -1<x<1. Nos extremos x=\pm1 a derivada não é finita (tende ao infinito), logo a fórmula vale para x\in(-1,1).
Passo 7
Verificação rápida e dica de memorização:
É útil lembrar que \dfrac{d}{dx}(\arcsin x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. Como \operatorname{arccos} x = \dfrac{\pi}{2}-\arcsin x, derivando obtemos \dfrac{d}{dx}(\operatorname{arccos} x)=-\dfrac{d}{dx}(\arcsin x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, mesma resposta — é uma checagem alternativa rápida.