Encontre a derivada das funções trigonométrica inversas abaixo: \frac{d}{d x}(\operatorname{arccossec} x)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{arccossec} x\big).
Observação sobre notação (não vou perguntar nada): vou interpretar \operatorname{arccossec} x como a função inversa da cossecante, isto é a arccosecante, geralmente escrita \operatorname{arccsc} x. Então o objetivo é achar a derivada de y=\operatorname{arccsc} x.
Informações relevantes dadas/implícitas:
A função inversa existe para x nos valores em que a cossecante atinge, isto é x\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty).
A derivada só será válida onde as expressões que surgem estão bem definidas; em particular haverá uma restrição |x|>1 (veremos por quê).
Passo 2
Definição e ideia básica (passo inicial para aplicar diferenciação implícita). Coloca-se
y=\operatorname{arccsc} x
isto é, y é o ângulo cuja cossecante é x. Em forma algébrica:
\csc y = x.
Nota curta sobre \csc: \csc y=\dfrac{1}{\sin y}. Assim a equação acima equivale a \sin y=\dfrac{1}{x} (quando x\neq0), o que já mostra que |x|\ge 1.
Passo 3
Diferenciação implícita — como obter y'. Diferencia os dois lados de \csc y = x em relação a x. Lembra que a derivada (em relação a sua variável) da função \csc u é -\csc u\cot u\cdot u'. Aplicando isso com u=y(x) e derivando o lado direito:
\frac{d}{dx}\big(\csc y\big)=\frac{d}{dx}(x)
-\csc y\cot y\cdot \frac{dy}{dx}=1.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\csc y\cot y}.
Explicação didática: a regra usada veio de \csc u=(\sin u)^{-1}, então \dfrac{d}{du}\csc u = -(\sin u)^{-2}\cos u = -\csc u\cot u. Aqui multiplicou-se por y' por conta da cadeia.
Passo 4
Expressar \csc y e \cot y em termos de x. Já temos \csc y=x. Para \cot y usamos uma identidade pitagórica que vem de \sin^2 y+\cos^2 y=1. Dividindo por \sin^2 y obtém-se:
\csc^2 y = 1 + \cot^2 y.
Como \csc y = x, substitui-se:
x^2 = 1 + \cot^2 y \quad\Rightarrow\quad \cot^2 y = x^2-1.
Portanto
|\cot y|=\sqrt{x^2-1}.
Agora é preciso decidir o sinal de \cot y. Pelo ramo principal da arccosecante (valores usuais de \operatorname{arccsc}) toma-se y em (-\tfrac{\pi}{2},0)\cup(0,\tfrac{\pi}{2}), onde \cos y\ge 0. Assim o sinal de \cot y=\dfrac{\cos y}{\sin y} coincide com o sinal de \sin y. Mas \sin y=1/x, então \operatorname{sgn}(\cot y)=\operatorname{sgn}(1/x)=\operatorname{sgn}(x). Logo
\cot y = \operatorname{sgn}(x)\sqrt{x^2-1}.
Multiplicando \csc y por \cot y:
\csc y\cot y = x\cdot\big(\operatorname{sgn}(x)\sqrt{x^2-1}\big) = |x|\sqrt{x^2-1}.