Sabendo que f(x)=x+e^{x} é uma função bijetora:
a) Qual o valor de f^{-1}(1) ?
b) Determine \frac{d f^{-1}}{d x}(1)

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=x+e^{x},
e afirma que f é bijetora. As perguntas são:
a) Calcular f^{-1}(1), isto é, encontrar o x tal que f(x)=1.
b) Determinar \dfrac{d f^{-1}}{d x}(1), isto é, a derivada da função inversa avaliada em 1.

Passo 2

Para achar f^{-1}(1) precisamos resolver a equação
x+e^{x}=1.
Uma forma prática é testar valores simples. Testando x=0:
0+e^{0}=0+1=1,
portanto x=0 é uma solução da equação. Logo, um candidato é f^{-1}(1)=0.

Passo 3

Agora precisamos garantir que essa solução é única (ou seja, que realmente f^{-1}(1)=0). Como o enunciado diz que f é bijetora, já sabemos que existe uma única inversa e, para cada valor em imagem há um único pré‑imagem. Vou também mostrar diretamente por que f é estritamente crescente (o que garante unicidade das soluções):
Calcule a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x+e^{x}\bigr)=1+e^{x}.
Como e^{x}>0 para todo x, segue que f'(x)=1+e^{x}>0 para todo x. Uma função com derivada positiva em todo o domínio é estritamente crescente, portanto injetora; combinado com ser sobrejetora (dado que é bijetora no enunciado), a equação x+e^{x}=1 tem exatamente uma solução, que encontramos ser x=0. Assim,
f^{-1}(1)=0.

Passo 4

Para calcular a derivada da inversa usamos a fórmula geral (e explico por que ela vale). Seja y=f(x) e suponha que f seja diferenciável e invertível localmente. Tem-se a identidade
f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y.
Derivando ambos os lados em relação a y (uso a regra da cadeia no lado esquerdo):
f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)\cdot\frac{d}{dy}\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=1.
Isolando a derivada da inversa obtemos a fórmula
\frac{d}{dy}\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.
Aqui f' é a derivada de f e f^{-1}(y) é o ponto x tal que f(x)=y. A justificativa intuitiva: derivar a composição f(f^{-1}(y)) f'(f^{-1}(y))\times (f^{-1})'(y), e isso deve ser 1 porque a composição é a função identidade.

Passo 5

Aplicando a fórmula para y=1: já temos f^{-1}(1)=0. Calculamos f'(0):
f'(0)=1+e^{0}=1+1=2.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(f^{-1}(x)\bigr)\Big|_{x=1}=\frac{1}{f'(f^{-1}(1))}=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{2}.

Resposta

f^{-1}(1)=0
\dfrac{d f^{-1}}{d x}(1)=\dfrac{1}{2}

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