Sabendo que
é uma função bijetora:
a) Qual o valor de
?
b) Determine
a) Qual o valor de
b) Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e afirma que
é bijetora. As perguntas são:
a) Calcular , isto é, encontrar o
tal que
.
b) Determinar , isto é, a derivada da função inversa avaliada em
.
a) Calcular
b) Determinar
Passo 2
Para achar
precisamos resolver a equação
Uma forma prática é testar valores simples. Testando
:
portanto
é uma solução da equação. Logo, um candidato é
.
Passo 3
Agora precisamos garantir que essa solução é única (ou seja, que realmente
). Como o enunciado diz que
é bijetora, já sabemos que existe uma única inversa e, para cada valor em imagem há um único pré‑imagem. Vou também mostrar diretamente por que
é estritamente crescente (o que garante unicidade das soluções):
Calcule a derivada de
:
Como
para todo
, segue que
para todo
. Uma função com derivada positiva em todo o domínio é estritamente crescente, portanto injetora; combinado com ser sobrejetora (dado que é bijetora no enunciado), a equação
tem exatamente uma solução, que encontramos ser
. Assim,
Passo 4
Para calcular a derivada da inversa usamos a fórmula geral (e explico por que ela vale). Seja
e suponha que
seja diferenciável e invertível localmente. Tem-se a identidade
Derivando ambos os lados em relação a
(uso a regra da cadeia no lado esquerdo):
Isolando a derivada da inversa obtemos a fórmula
Aqui
é a derivada de
e
é o ponto
tal que
. A justificativa intuitiva: derivar a composição
dá
, e isso deve ser
porque a composição é a função identidade.
Passo 5
Aplicando a fórmula para
: já temos
. Calculamos
:
Portanto